特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、（一阶线性递推式）设已知数列
的项满足,其中
求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程
称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当
时，为常数列，即，其中
是以
为公比的等比数列，即.
证明：因为
由特征方程得
作换元
则
当
时，，数列是以为公比的等比数列，故
当
时，
，为0数列，故
（证毕）
下面列举两例，说明定理1的应用.
例1．已知数列满足：
求。
解：作方程
当时，
数列是以
为公比的等比数列.于是
例2．已知数列满足递推关系：
其中为
虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？
解：作方程
则要使为常数，即则必须
二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式
，
给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。
若
是特征方程的两个根，当时，数列的通项为
，其中A，B由
决定（即把和
，代入，得到关于A、B的方程组）；当
时，数列的通项为
，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
例3：已知数列满足
，求数列的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由
，得
，
且
。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。把代入，得
，
，
，
……
。
把以上各式相加，得
。
解法二（特征根法）：数列：
的特征方程是：
。
,
又由，于是
故
三、(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于
，都有
（其中p、q、r、h均为常数，且
），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根
（称作特征根）时，
若
则
若
，则
其中
特别地，当存在
使时，无穷数列不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根
、
（称作特征根）时，则，
其中
例3、已知数列满足性质：对于
且
求的通项公式.
解:依定理作特征方程
变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，
则有
∴
∴
即
例5．已知数列满足：对于都有
（1）若
求
（2）若
求
（3）若
求
（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？
解：作特征方程变形得
特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵
对于都有
(2)∵
∴
令
，得.故数列从第5项开始都不存在，
当n ≤4，
时，
.
(3)∵∴
∴
令则∴对于
∴
(4)、显然当
时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当
时，则有
令
则得且≥2.
∴当
（其中且N≥2）时，数列从第n项开始便不存在.
于是知：当在集合{-3或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.