高斯消元法 & 高斯-约当 (Gauss-Jordan) 消元法

高斯消元法 & 高斯-约当 (Gauss-Jordan) 消元法  

2010-05-24 18:02:10|  分类：控制理论 |  标签：|字号大中小 订阅

高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，高斯约当消元法大家可能不是很熟悉。下面先介绍线性方程组和矩阵的一些基本概念与高斯消元法，然后着重介绍高斯约当消元法相对于高斯消元法的优势：程序简单（不需要回代），应用广泛（例如求矩阵的逆），易于判断处理特殊情况（有无穷多解的情况）。

　　这是一个线性方程组：



　　把方程组中的系数矩阵 和结果向量 并置，得到下面的增广矩阵：



　　高斯消元法的基本方法是使用加减消元，依次选定每一个未知数 ，利用增广矩阵的其中一行消去尚未利用的其他行中出现的 ，最终利用回代过程求得方程组的解。为了减小误差，每次都应选择 的系数绝对值最大的一行。

　　高斯消元法实现时有一些不易处理的问题：
　　1.回代过程：虽然公式并不复杂，可是编程时代入消元和加减消元并用，对于初学者（比如我）依然是一个不小的障碍。
　　2.自由变量：如果消元过程中存在自由变量，必须立刻赋值，否则无法继续。这样求出的是一组特解，难以求出其他变量与自由变量的函数关系。
　　3.交换两行：处理时需要反复交换原矩阵的两行，给调试工作带来困难。
　　
　　高斯约当消元法解决了这些问题。与高斯消元法不同的是，每次消去时把当前等式中 的系数化为 ，同时不仅消去尚未利用的行中出现的 ，也消去已利用的行中出现的 。这样在消元完成后不需要回代过程，方程组中每一行都是 的形式。同时由于不需要回代过程，方程组中各个未知数的消元顺序不再那么严格，因此我们可以把“选择行主元”变成“选择列主元”，也就是依次选定每一个方程，从中选择系数绝对值最大的 来消元。这样方程可以依次处理，自由变量在消元完成之前不会出现。若出现“无元可消”，只有两种情况： 和 ，前者直接忽略，后者直接无解。