Southwestern Europe 2005 ——解题报告

Southwestern Europe 2005 ——解题报告

序：
    复旦的教练给了我们一次听ACM讲课的机会，课的进度太快，也没听懂多少，所以问牛人们敲了一套题来做做，就是本文的标题SWERC05的题目。
    题目难度中等略上吧，不过题目数量很多，有10道（吓）。后面的几道题目满有搞头的。
   
A    The mysterious X network：

    求最短路径的简单题，因为权值都是1，所以直接广搜就行了。

B    Bin Packing：

    似乎以前在某个判题的网站上做过这样一道训练题，也是简单题，因为每个item都必须要放在BIN里，所以从一边小到大找，另一边从大到小找，能塞进一个BIN的就塞一个，不能塞进，就将大的那个单独放一个BIN。 如此贪心便可。

C    On Storing Clothes：

    模拟题，并没什么算法，就是要题目看仔细。特别是要注意seperate hook的删除与否，操作W n时判断n-1的seperate hook是否有衣服，无则删除，有则保留，同样判断n+连续的衣服k后的n+k+2是否为衣服，否则删了n+k+1的seperate hook，有则保留。W n后cur指针指在n位置上。

D    Buy or Build：

    算是中等难度的题目吧，还好题目的数据量不是很大，否则算法的要求就高了。因为题目中已声明提供的子网个数十分小（<8），所以对子网的取舍情况共有256种。
    假设点集P，在计算一个已经有子网将部分点连通的点集P1的MST时，不难想到，其还需添加的边是P的MST的边集P-MST的子集，即P1-MST包含于P-MST。所以如果已经求得P-MST的情况下，再求P1-MST的复杂度就是O(n)，因为P-MST长度为n。那么，256种情况枚举一下是 256n （n<=1000），不会超时。
    最后的工作是算一下P-MST，因为是欧几里德最小生成树，烦的算法很烦，我是求了O(n^2)条边（即所有边），然后用Kruskal求出MST的。
    PKU上跑了5000MS出头。

E    4 Values whose Sum is 0：

    也是简单题，由于只有4列，所以分成两组 A，B，每组含n^2个元素，即该组两列元素枚举出所有的和。然后A从小到大，B从大到小，找出Ai=（-Bj） 的所有情况，统计一下，就是最后的解。

F    Keep the Customer Satisfied：

    中等难度的题目吧，想了好久才知道用贪心的算法可以O(n)下解决（排序还要nlogn）。
    我想题目的关键是后面的Hint，“They also claim that there is an optimal solution such that for any two orders Ju and Jv with qu > qv and du < dv , if Ju is accepted then Jv is also accepted. ”这句话。意思是，若Ju在最优解中，那么所有du<dv 和 qu>qv的JOB都在最优解内。如何理解呢，首先爱截止日期d排序（这个应该满好理解的），然后我们假设下面的情况：
        i<j        Ji在当前最优解中        Jj的qj<qi
     若将Jj放入最优解中是可以的，即不会超过截止日期，那么将Jj放入最优解，则满足前面说的那个情况（其实保持的是一个最优子结构）。
    若将Jj放入最优解中是不可以的，即会超过截止日期，那么利用贪心选择的性质，可以很容易想到用Jj替换Ji，即Ji不再是最优解元素，Jj放入最优解，简单证明一下解依然是最优的：
    设dn 是当前最优解的任务完成时间，有dn<=di<=dj，而qi>qj，所以 Ji 换成 Jj 后dn=dn-(qi-qj)，即dn减小，且JOB数不变，自然要比当前解更优。

    总结一下可以如此贪心：设当前最优解Solu

1. 依d从小到大排序。
2. i=0，开始从小到大开始遍历找最优解，若i已到n，则Solu是最优解。
3. 若JOBi不能放入Solu中，则取当前最优解的q最大元素Solu[k]（若Solu[k]==JOBi，跳4），JOBi取代Solu[k]。
4. i++，跳2。               
   

   取最大元素可以用堆、优先队列等。

G    UFO Cubes in Roswell：

    这题规模太大，用JAVA内存会溢出，而用C++写我实在不熟练，所以就没过。
    题目意思是从BOX上方射如（SIZE+1）^2的光，在经过BOX内的镜子反射后分别从六个面有多少光射出。
    我原先的程序用了4个MAP，模拟起来不是很烦，只是要记得有光是不会射出去的，需要做判断比较烦。

H    Black Box

    这是一道看上去很难很烦，其实算法不是很深，实现稍需细心的题目。我用JAVA搜是3000MS左右过的，题目要求是5000MS，这题目用搜应该没多大问题。
    题目的规模颇小，6*6的范围取5点也就376992种解，5层递归搜一下便可，稍微复杂的约束函数比较麻烦，因为条件很多，所以要细心加耐心。

    注意的是题目中所说的“be deduced from the experiments”，是指推算出唯一解，想想也知道，不然这题就是Special Judge了。Sample 2就是因为解太多，所以结果是NO。

I    Pixel Shuffle

    这道题目花了我颇多的时间，比赛的时候估计是放弃的题目了。首先排除了暴力法，1000*1000的数组经过2^10变化时间会很长。
    起初我想到的是计算机图形学的基本变换和复合变换，只要求出一套变换的复合矩阵（3*3的），然后求该矩阵左乘自己多少次能变为单位矩阵，就可以知道结果了。不过题目中的后四个变化没办法直接套出变换矩阵，那么就很难求一套变换后的矩阵。

    后来想到的方法是求出一套变换后的图象（一个二维数组），变换后Pij 位置上的值V原来的位置是V/n ,V%n，通过求从某点出发一直到回到该点的环，记下环长度，然后对所有环求一下最小公倍数就可以了。想法是正确的，我想应该是可以过的，不过因为我在MIX的变换中出了点差错，所以我没能写完这个代码。

    最后我用的方法是对于某点（i,j）（而不是整个图）做一套变换成为（ti,tj），然后对（ti，tj）再做他的那套变换，如此反复直到回到（i,j），记下环长度，同时设置所有环内点为已读。这样时间的复杂度是n*n，空间的复杂度只有2。应该说和上一段的思路基本一致，但空间上大大节约了。
    如果问还有什么能提高速度的，我觉得是可以用一个Map记录下已经计算过的变化，即会导致相同环长度的变化，然后对该变化只求一次。因为比较复杂，所以我没有实现。


J    Consecutive ones：

    这是一道搜索题，难度中等。不过貌似求Consecutive ones有专门的算法，反正我是用搜索过的，预先记录下每个人的活动次数cnt[]，搜索是先在最左边摆1试试看，然后在他的右边放，不行的话就回朔，这样的解空间树的搜索，应该还是好理解的。
    在搜索到第i个位置时，维护前i-1个解导致的每人活动次数tmpCnt[]，对i列的每行j扫描，若为0则要求tmpCnt[j]=0或者tmpCnt[j]=cnt[j]则解是有效的，否则无效。