信号的解析表示

对于一个带通信号x(t),有

X(f)为x(t)的傅里叶变换，u(f)为单位阶跃函数，X+（f）为正频率部分的傅里叶变换，对其做傅里叶反变换，可以表示为x+(t)，这个信号称为解析信号。   

定义 

，

上式称为x(t)的希尔伯特变换，该滤波器的冲激响应为

对冲激响应做傅里叶变换，得到频率响应为

由上式可见，当频率大于零时，相位偏移-pi/2 ,当频率小于零时，相位偏移pi/2。希尔伯特变换实际上对信号做了90度的相移。

以下是matlab代码，显示的信号的希尔伯特变换

clear all;
ts=0.01;           %采样间隔
fs=1/ts;            
t=0:ts:10;
df=fs/length(t);
f=-40:df:40-df;
x=cos(2*pi*30*t);
X=fft(x)/fs;         %余弦信号的频谱
xa=hilbert(x);
Xa=fft(xa)/fs;      %希尔伯特变换后的频谱
subplot(2,1,1);
plot(f,fftshift(abs(X)));
title('原信号');
subplot(2,1,2);
plot(f,fftshift(abs(Xa)));
title('希尔伯特变换后');

运行的结果是

可以发现，希尔伯特变换提取出了信号的正频率部分。

      在信号处理中，为了数学上的方便，常常采用复信号的方法，复信号的实部和虚部正好与接收机中的同相支路和正交支路相对应。实信号的频谱是共轭对称的，它有负频率分量，实际上负频率是不存在的，解析的复信号频谱刚好只有正频率。从上面的波形还可以看出，希尔伯特变换是将信号的正频部分加倍，而负频部分变为零。对于实信号，频谱就共轭对称性，负频部分可以完全有正频部分确定，在信号处理中，信号要分为实部和虚部分别处理，正频部分的带宽是原信号带宽的一半，因而采样率可以降低为一半，但是因为有同相和正交两路信号，两路信号均需要采样处理。

     希尔伯特变换在瞬时信号的处理中有这广泛的应用，但它也存在着一些缺点，一是它仅适合处理平稳窄带信号，现实中许多信号并不是这种信号，二是它只能处理任何时刻频率值单一的信号，即在任何时刻t,信号的频率值只能有一个。