这题的数据量是5w, 也就是传统意义上的n^2算法是不可取的。这里就用到了FFT
FFT一般的作用就是使得多项式乘法的复杂度降到nlogn。利用FFT可以快速求出循环卷积。
那么卷积又是什么样一个东西。
----------------------------------------以下内容转自http://blog.sina.com.cn/s/blog_6733026501019ubf.html--------------------
信号处理中的一个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形,
两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du
当然,证明卷积的一些性质并不困难,比如交换,结合等等,但是对于卷积运算的来处,初学者就不甚了了。
其实,从离散的情形看卷积,或许更加清楚,
对于两个序列f[n],g[n],一般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k]
卷积的一个典型例子,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算,
比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)
一般计算顺序是这样,
(x*x+3*x+2)(2*x+5)
= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5
= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10
然后合并同类项的系数,
2 x*x*x
3*2+1*5 x*x
2*2+3*5 x
2*5
----------
2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
实际上,从线性代数可以知道,多项式构成一个向量空间,其基底可选为
{1,x,x*x,x*x*x,...}
如此,则任何多项式均可与无穷维空间中的一个坐标向量相对应,
如,(x*x+3*x+2)对应于
(1 3 2),
(2*x+5)对应于
(2,5).
线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,而只有加法,数乘两种运算,而实际上,多项式的乘法,就无法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了.
但如果按照我们上面对向量卷积的定义来处理坐标向量,
(1 3 2)*(2 5)
则有
2 3 1
_ _ 2 5
--------
2
2 3 1
_ 2 5
-----
6+5=11
2 3 1
2 5
-----
4+15 =19
_ 2 3 1
2 5
-------
10
或者说,
(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)
回到多项式的表示上来,
(x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
似乎很神奇,结果跟我们用传统办法得到的是完全一样的.
换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积.
其实,琢磨一下,道理也很简单,
卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数,也就是说,他把加法和求和杂合在一起做了。(传统的办法是先做乘法,然后在合并同类项的时候才作加法)
以x*x的系数为例,得到x*x,或者是用x*x乘5,或者是用3x乘2x,也就是
2 3 1
_ 2 5
-----
6+5=11
其实,这正是向量的内积.如此则,卷积运算,可以看作是一串内积运算.既然是一串内积运算,则我们可以试图用矩阵表示上述过程。
[ 2 3 1 0 0 0]
[ 0 2 3 1 0 0]==A
[ 0 0 2 3 1 0]
[ 0 0 0 2 3 1]
[0 0 2 5 0 0]' == x
b= Ax=[ 2 11 19 10]'
采用行的观点看Ax,则b的每行都是一个内积。
A的每一行都是序列[2 3 1]的一个移动位置。
---------
显然,在这个特定的背景下,我们知道,卷积满足交换,结合等定律,因为,众所周知的,多项式的乘法满足交换律,结合律.在一般情形下,其实也成立.
在这里,我们发现多项式,除了构成特定的线性空间外,基与基之间还存在某种特殊的联系,正是这种联系,给予多项式空间以特殊的性质.
在学向量的时候,一般都会举这个例子,甲有三个苹果,5个橘子,乙有5个苹果,三个橘子,则共有几个苹果,橘子。老师反复告诫,橘子就是橘子,苹果就是苹果,可不能混在一起。所以有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的,橘子和苹果无论怎么加,都不会出什么问题的,但是,如果考虑橘子乘橘子,或者橘子乘苹果,这问题就不大容易说清了。
又如复数,如果仅仅定义复数为数对(a,b),仅仅在线性空间的层面看待C2,那就未免太简单了。实际上,只要加上一条(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
则情况马上改观,复变函数的内容多么丰富多彩,是众所周知的。
另外,回想信号处理里面的一条基本定理,频率域的乘积,相当于时域或空域信号的卷积.恰好跟这里的情形完全对等.这后面存在什么样的隐态联系,需要继续参详.
从这里看,高等的卷积运算其实不过是一种初等的运算的抽象而已.中学学过的数学里面,其实还蕴涵着许多高深的内容(比如交换代数)。温故而知新,斯言不谬.
其实这道理一点也不复杂,人类繁衍了多少万年了,但过去n多年,人们只知道男女媾精,乃能繁衍后代。精子,卵子的发现,生殖机制的研究,也就是最近多少年的事情。
孔子说,道在人伦日用中,看来我们应该多用审视的眼光看待周围,乃至自身,才能知其然,而知其所以然。
----------------------------------------------------------完毕------------------------------
然后我们就知道卷积大概的作用了。
那么FFT本来是信号里面的东西,而我没学过信号。 所以看的也不怎么懂。
大概就是对离散的信号,先将其转变为一些正弦函数,然后这些正弦函数叠加能构成这个离散信号,但是这些正弦函数易于处理。处理完之后就可以再转变回来。
两个过程叫做DFT和IDFT。
对于本道题。意义就很明显了。
可以把两个大整数相乘看做是多项式乘法。
最后求出各系数后再进位即可
代码如下、
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <queue> #include <set> #include <vector> using namespace std; #define L(x) (1 << (x)) const double PI = acos(-1.0); const int Maxn = 133015; double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn]; char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2]; int sum[Maxn]; int x1[Maxn],x2[Maxn]; int revv(int x, int bits) { int ret = 0; for (int i = 0; i < bits; i++) { ret <<= 1; ret |= x & 1; x >>= 1; } return ret; } void fft(double * a, double * b, int n, bool rev) { int bits = 0; while (1 << bits < n) ++bits; for (int i = 0; i < n; i++) { int j = revv(i, bits); if (i < j) swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]); } for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) { int half = len >> 1; double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len); if (rev) wmy = -wmy; for (int i = 0; i < n; i += len) { double wx = 1, wy = 0; for (int j = 0; j < half; j++) { double cx = a[i + j], cy = b[i + j]; double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half]; double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx; a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey; a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey; double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx; wx = wnx, wy = wny; } } } if (rev) { for (int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n, b[i] /= n; } } int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) { int len = max(na, nb), ln; for(ln=0; L(ln)<len; ++ln); len=L(++ln); for (int i = 0; i < len ; ++i) { if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0; else ax[i] = a[i], ay[i] = 0; } fft(ax, ay, len, 0); for (int i = 0; i < len; ++i) { if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0; else bx[i] = b[i], by[i] = 0; } fft(bx, by, len, 0); for (int i = 0; i < len; ++i) { double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i]; double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i]; ax[i] = cx, ay[i] = cy; } fft(ax, ay, len, 1); for (int i = 0; i < len; ++i) ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5); return len; } int main() { int l1,l2,l; int i; while(gets(sa)) { gets(sb); memset(sum, 0, sizeof(sum)); l1 = strlen(sa); l2 = strlen(sb); for(i = 0; i < l1; i++) x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0'; for(i = 0; i < l2; i++) x2[i] = sb[l2-i-1]-'0'; l = solve(x1, l1, x2, l2, sum); for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位 { sum[i + 1] += sum[i] / 10; sum[i] %= 10; } l = i; while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 检索最高位 for(i = l; i >= 0; i--) putchar(sum[i] + '0'); // 倒序输出 putchar('\n'); } return 0; }
然后模板来一发。
#define L(x) (1 << (x)) const double PI = acos(-1.0); const int Maxn = 133015; double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn]; int revv(int x, int bits) { int ret = 0; for (int i = 0; i < bits; i++) { ret <<= 1; ret |= x & 1; x >>= 1; } return ret; } void fft(double * a, double * b, int n, bool rev) { int bits = 0; while (1 << bits < n) ++bits; for (int i = 0; i < n; i++) { int j = revv(i, bits); if (i < j) swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]); } for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) { int half = len >> 1; double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len); if (rev) wmy = -wmy; for (int i = 0; i < n; i += len) { double wx = 1, wy = 0; for (int j = 0; j < half; j++) { double cx = a[i + j], cy = b[i + j]; double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half]; double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx; a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey; a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey; double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx; wx = wnx, wy = wny; } } } if (rev) { for (int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n, b[i] /= n; } } int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) //两个数组求卷积,有时ans数组要开成long long { int len = max(na, nb), ln; for(ln=0; L(ln)<len; ++ln); len=L(++ln); for (int i = 0; i < len ; ++i) { if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0; else ax[i] = a[i], ay[i] = 0; } fft(ax, ay, len, 0); for (int i = 0; i < len; ++i) { if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0; else bx[i] = b[i], by[i] = 0; } fft(bx, by, len, 0); for (int i = 0; i < len; ++i) { double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i]; double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i]; ax[i] = cx, ay[i] = cy; } fft(ax, ay, len, 1); for (int i = 0; i < len; ++i) ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5); return len; } int solve(long long a[], int na, int ans[]) //自己跟自己求卷积,有时候ans数组要开成long long { int len = na, ln; for(ln = 0; L(ln) < na; ++ln); len=L(++ln); for(int i = 0; i < len; ++i) { if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] = 0; else ax[i] = a[i], ay[i] = 0; } fft(ax, ay, len, 0); for(int i=0; i<len; ++i) { double cx = ax[i] * ax[i] - ay[i] * ay[i]; double cy = 2 * ax[i] * ay[i]; ax[i] = cx, ay[i] = cy; } fft(ax, ay, len, 1); for(int i=0; i<len; ++i) ans[i] = ax[i] + 0.5; return len; }