《算法导论》读书笔记（二）——分治法

设计算法

插入排序使用了增量法，即先排j-1个，然后排j个，下面学习一种新的方法：分治法。

分治法

分治法的思想：大事化小，分而治之。把规模较大的问题分解为几个规模较小的类似子问题，递归的求解子问题，然后合并子问题的解建立原问题的解。

递归：算法多次调用自身以解决紧密相关的若干子问题。

分治模式在每次递归的三个步骤：

分解：大→小

解决：对子问题递归，若子问题足够小，直接求解

合并：小→大

分治法应用于排序：归并排序

分解：将n元素序列分解为2个n/2元素子序列

解决：递归解两个子序列

合并：合并两个子序列产生答案

归并排序的C++简单实现：

#include <iostream>
using namespace std;

template <typename T>
void merge(T a[], int p, int q, int r)
{
	int temp_N = r - p + 1;
	int p_i = p;
	int p_j = q + 1;
	int p_t = 0;
	T temp_Array[temp_N];
	while(p_i < q + 1 && p_j < r + 1)
	{
		if(a[p_i] < a[p_j])
		{
			temp_Array[p_t] = a[p_i];
			p_i++;
			p_t++;
		}
		else
		{
			temp_Array[p_t] = a[p_j];
			p_j++;
			p_t++;
		}
	}
	while(p_i < q + 1)
	{
		temp_Array[p_t] = a[p_i];
		p_i++;
		p_t++;
	}
	while(p_j < r + 1)
	{
		temp_Array[p_t] = a[p_j];
		p_j++;
		p_t++;
	}
	
	for(int i = 0; i < temp_N; i++)
	{
		a[p + i] = temp_Array[i];
	}
}

template <typename T>
void merge_Sort(T a[], int p, int r)
{
	if(p < r)
	{
		int q = (r + p) / 2;
		merge_Sort(a, p, q);
		merge_Sort(a, q + 1, r);
		merge(a, p, q, r);
	}
	
}

int main()
{
	int a[10] = {1,5,3,18,2,4,16,9,101,11};
	merge_Sort(a,0,9);
	for(int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << a[i] << "\t";
	}
	cout << endl;
	return 0;
}

归并算法示意图

分治算法分析

递归算法通常通过递归方程来求解运行时间

递归方程如下：

当n足够小时，即n < c时有：T(n) = Θ(1)

其他情况：T(n) = aT(n/b) + D(n) + C(n).

对于其他情况的解释：

a：分成a份

b：每份的求解时间是1/b

D(n)：分解所需时间

C(n)：合并所需时间

分析归并排序

用如上方法得出：

a=2

b=2

D(n)=Θ(1)

C(n)=Θ(n)

应用“主定理”有：归并排序的时间复杂度是T(n) = Θ(nlogn)