二分图带权匹配问题

出处：http://www.byvoid.com/blog/match-km/#respond

[二分图带权匹配与最佳匹配]

什么是二分图的带权匹配？二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最佳匹配不等价，也不互相包含。

我们可以使用KM算法实现求二分图的最佳匹配。方法我不再赘述，可以参考tianyi的讲解。KM算法可以实现为O(N^3)。

[KM算法的几种转化]

KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。

KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。

KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。

[求最小(大)权匹配的费用流建模方法]

求最小(大)权匹配，可以用最小(大)费用最大流的方法。和二分图最大匹配的构图方法类似，添加附加源S和附加汇T，从S向二分图X集合中每个顶点连接一条权值为0，容量为1的有向边，从Y集合中每个顶点向T也连接一条权值为0，容量为1的有向边。然后把原有的边变成容量为1，权值不变的有向边。求从S到T的最小(大)费用最大流，就能求得最小(大)权匹配。

上述建模求最大权匹配的方法求得的一定是最佳匹配(如果存在完备匹配)，因为S到X集合每条边全部满流。如下图所示，最小费用最大流为2。

要求最大权匹配(不一定完备匹配)。如下图，只需再引入一个顶点A，从X集合的每个顶点向A连接一条容量为1，权值为0的边，然后再由A向T连接一条权值为0，容量不小于|X|的边，求最大费用最大流，这时是100。

最小权匹配也类似，不过新加的边权要为一个极大值，大于所有已有边权值。

[KM算法与费用流的比较]

从理论上分析，KM算法的时间复杂度比费用流要好，但是实际上和较好的费用流算法比起来运行效率是差不多的，KM算法优势仅仅在于编程容易。KM算法也有其不可避免的局限性，就是必须用邻接矩阵来表示。这样会浪费很多的空间，尤其是图相当稀疏的时候。而对于十分稀疏的图，许多优秀的费用流算法效率是很高的。这并不说明KM算法不如费用流，毕竟在信息学竞赛中，编程的复杂度也是一个相当重要的需要考虑的因素。