Bezier曲线与曲面(2)

导读：
　　
　　2.三角域上的Bernstein基
　　
　　单变量的n次的Bernstein基由的二项式展
　　开各项组成。双变量张量积的Bernstein基由两个单变量的Bernstein基各取
　　其一的乘积组成。而定义在三角域上的双变量n次的Bernstein基由
　　的展开式各项组成。
　　
　　
　　
　　
　　
　　Bernstein基函数：
　　
　　
　　
　　
　　其中i+j+k=n，且i，j，k≥0。可见，三角域上n次Bernstein基共包含
　　了个基函数，可以用一个三角阵来排列这些基函数。例如，
　　n=2时如图3.1.19所示。其位于同一条线上的那些基函数实际是单变量的。
　　
　　
　　
　　
　　三角域按Bernstein基的三角阵列相应划分成子三角域，其中诸直线交
　　点同样地称为节点。节点与基函数一一对应。每个结点也由三个指标确定，
　　如图3.1.20所示，它们分别与三参数u，v，w相联系。
　　
　　三角域上Bernstein基同样具有规范性、非负性与递推性。其递推关系
　　为：
　　
　　
　　
　　3．三边Bezier曲面片的方程
　　
　　使一个基函数联系一个控制顶点，一张n次三边Bezier曲面片必须由构
　　成三角阵列的个控制顶点定义。
　　因此，我们可以写出曲面片的方程：
　　
　　
　　
　　
　　按下标顺序用直线连接控制顶点，就形成了曲面的控制网格，它由三角
　　形组成，网格顶点与三角域的节点一一对应。图3.1.21给出了三次三边
　　Bezier曲面片的一个例子。
　　
　　
　　
　　
　　当固定三参数之一时，将得到曲面片上一条等参数线。例如，当w固定，
　　让u独立地变化，则得到一条u线；若让v独立地变化，则得到v线，两者实际
　　是同一条曲线。因此，曲面片上有三族等参数线。当三参数之一为零时，则
　　得曲面片的一条边界线，它由相应那排边界顶点定义，就是一般所指的一条
　　非有理n次Bezier曲线。当三参数之一为1时，则得三边曲面片的一个角点，
　　就是控制网格三角顶点之一。可见，三边Bezier曲面片与四边Bezier曲面片
　　具有类似的性质。
　　
　　与定义在矩形域上的四边Bezier曲面片的差别在于：
　　
　　(1)定义域不同；
　　
　　(2)控制网格不同，后者由呈矩形阵列的控制顶点构成；
　　
　　(3)同样是两个独立参数，但最高次数不同，后者两个参数的最高次数
　　是互相独立的，可以不同。而三边Bezier曲面片的三个参数的最高次数都是
　　相同的；
　　
　　(4)四边Bezier曲面片是张量积曲面，三边Bezier曲面片是非张量积曲
　　面，这是本质差别。
　　
　　4．三边Bezier曲面片与四边Bezier曲面片的转化
　　
　　由于三边Bezier曲面与四边Bezier曲面有不同的基函数和定义方法，当
　　在同一个CAD系统中使用这两种类型的曲面片时，会带来不相容的困难。
　　1996年，S.M. Hu给出了两种曲面片的转化方法。
　　
　　S.M. Hu的方法是将一张三边Bezier曲面片转化为三张相同次数的四边
　　Bezier曲面片，且各曲面片之间能够很好地匹配。如图3.1.22（a），假定
　　三边Bezier曲面片定义域为D，在D的三条边上各取一点（不包括三个顶点）
　　、和，再在三角形内取一点，则线段、和将D分
　　成三个四边形、和，与三线段对应的曲线将该三边Bezier曲面片分
　　成三张四边Bezier曲面片。下面，我们给出上的四边Bezier曲面片的表示，
　　和上曲面片的表示则与在上类似。
　　
　　我们选取如图3.1.22（b）所示。为了方便起
　　见，并将写为，
　　写为，则三边Bezier曲面片方程可以写为：
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　如果我们还引入下列运算符：
　　
　　不变运算符
　　
　　移位运算符
　　
　　差分运算符
　　
　　则三边Bezier曲面片方程可进一步表示为：
　　
　　
　　
　　
　　定义在上的的裁剪曲面可由n×n次的四边Bezier曲面片表示，
　　其控制顶点为：
　　
　　
　　
　　
　　其中
　　
　　
　　分别是、和的坐标。
　　于是，定义在上的四边曲面片可表示为：

本文转自
http://www.blog.edu.cn/user2/waruqi/archives/2006/1452762.shtml