判断点是否在三角形内

原帖地址：http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/08/05/1793393.html

本文只是翻译和整理，原文在此http://www.blackpawn.com/texts/pointinpoly/default.html

结合英文原帖，以及老狼的理解，又做了部分语句表达的改动。

概述

    给定三角形ABC和一三维空间点P(x,y,z)，如何判断点P是否在三角形ABC内？这是在碰撞检测算法中经常遇到的问题。

本文介绍三种不同的方法，由浅入深：

一、 内角和法

          连接点P和三角形的三个顶点得到三条线段PA，PB和PC，求出这三条线段与三角形各边的夹角，如果所有夹角之和为360度，那么点P在三角形内，否则不在，此法直观，但效率低下。

二、 同向法

       假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。我们就利用这一点，但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢？我们可以从另一个角度来思考，当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了，如何判断两个点在某条线段的同一侧呢？可以通过叉积来实现，连接AP，将AP和AB做叉积，再将AC和AB做叉积，如果两个叉积的结果方向一致，那么两个点在同一测。判断两个向量是否方向一致，可以用点积实现，如果点积大于0，则两向量夹角是锐角，此时两向量方向一致，否则是钝角，两向量方向不一致。

代码如下，为了实现程序功能，添加了一个Vector3类，该类表示三维空间中的一个向量。

1	// 3D vector
2	class Vector3
3	{
4	public:
5	Vector3(float fx, float fy, float fz)
6	:x(fx), y(fy), z(fz)
7	{
8
9	}
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12	// Subtract
13	Vector3 operator - (const Vector3& v) const
14	{
15	return Vector3(x - v.x, y - v.y, z - v.z) ;
16	}
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19	// Dot product
20	float Dot(const Vector3& v) const
21	{
22	return x * v.x + y * v.y + z * v.z ;
23	}
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26	// Cross product
27	Vector3 Cross(const Vector3& v) const
28	{
29	return Vector3(
30	y * v.z - z * v.y,
31	z * v.x - x * v.z,
32	x * v.y - y * v.x ) ;
33	}
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36	public:
37	float x, y, z ;
38	};
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41	// Determine whether two vectors v1 and v2 point to the same direction
42	// v1 = Cross(AB, AC)
43	// v2 = Cross(AB, AP)
44	bool SameSide(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
45	{
46	Vector3 AB = B - A ;
47	Vector3 AC = C - A ;
48	Vector3 AP = P - A ;
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51	Vector3 v1 = AB.Cross(AC) ;
52	Vector3 v2 = AB.Cross(AP) ;
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56	// v1 and v2 should point to the same direction
57	return v1.Dot(v2) >= 0 ;
58	}
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61	// Same side method
62	// Determine whether point P in triangle ABC
63	bool PointinTriangle1(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
64	{
65	return SameSide(A, B, C, P) &&
66	SameSide(B, C, A, P) &&
67	SameSide(C, A, B, P) ;
68	}
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三、 重心法

       上面这个方法简单易懂，速度也快，下面这个方法速度更快，只是多用了一些数学概念：

三角形的三个点在同一个平面上，如果选中其中一个点，其他两个点不过是相对该点的位移而已，比如选择点A作为起点，那么点B相当于在AB方向移动一段距离得到，而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。

所以对于平面内任意一点，都可以由如下方程来表示

P = A +  u * (C – A) + v * (B - A) // 方程1

如果系数u或v为负值，那么相当于朝相反的方向移动，即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部，u和v必须满足什么条件呢？有如下三个条件

u >= 0

v >= 0

u + v <= 1

几个边界情况，当u = 0且v = 0时，就是点A，当u = 0,v = 1时，就是点B，而当u = 1, v = 0时，就是点C

整理方程1得到P – A = u(C - A) + v(B - A)

令v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A，则v2 = u * v0 + v * v1，现在是一个方程，两个未知数，无法解出u和v，将等式两边分别点乘v0和v1的到两个等式

(v2) • v0 = (u * v0 + v * v1) • v0

(v2) • v1 = (u * v0 + v * v1) • v1

注意到这里u和v是数，而v0，v1和v2是向量，所以可以将点积展开得到下面的式子。

v2 • v0 = u * (v0 • v0) + v * (v1 • v0)  // 式1

v2 • v1 = u * (v0 • v1) + v * (v1• v1)   // 式2

解这个方程得到

u = ((v1•v1)(v2•v0)-(v1•v0)(v2•v1)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

v = ((v0•v0)(v2•v1)-(v0•v1)(v2•v0)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

是时候上代码了，这段代码同样用到上面的Vector3类

1	// Determine whether point P in triangle ABC
2	bool PointinTriangle(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
3	{
4	Vector3 v0 = C - A ;
5	Vector3 v1 = B - A ;
6	Vector3 v2 = P - A ;
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9	float dot00 = v0.Dot(v0) ;
10	float dot01 = v0.Dot(v1) ;
11	float dot02 = v0.Dot(v2) ;
12	float dot11 = v1.Dot(v1) ;
13	float dot12 = v1.Dot(v2) ;
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16	float inverDeno = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) ;
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19	float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ;
20	if (u < 0 || u > 1) // if u out of range, return directly
21	{
22	return false ;
23	}
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26	float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ;
27	if (v < 0 || v > 1) // if v out of range, return directly
28	{
29	return false ;
30	}
31
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33	return u + v <= 1 ;
34	}
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