c/c++常用算法(14) -- 经典数据结构(约瑟环夫问题)

一、简单的约瑟环夫

1.故事描述:

      据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，但是最后却躲过了自杀。请问，他们是怎么做到的？

2.算法分析：

      一个明显的求解方法便是将41个人排成一个环，内圈为按照逆时针的最初编号，外圈为每个数到数字3的顺序,如图。我们可以使用数组来保存约瑟夫环中该自杀的数据，而数组的下标作为参与人员的编号,并将数组看做为环形来处理.

      根据上面的思路，编写代码:

//简单约瑟夫环求解
#include <iostream>
#include <time.h>
#include <string.h>

#define Num 41
#define KillMan 3

void Josephus(int alive)
{
    int man[Num] = {0};
    int count = 1;
    int i = 0,pos = -1;
    
    while (count <= Num)
    {
        do {
            pos = (pos + 1) % Num;
            if (man[pos] == 0)
                i++;
            if (i == KillMan)
            {
                i = 0;
                break;
            }
        } while (1);
        
        man[pos] = count;
        printf("第%2d个人自杀!约瑟夫环编号为%2d",pos+1,man[pos]);
        if (count % 2)
        {
            printf("->");
        }
        else
        {
            printf("->\n");
        }
        count++;
    }
    printf("\n这%需要存活的人初始位置应排在以下序号:\n",alive);
    alive = Num -alive;
    for (i = 0; i<Num; i++)
    {
        if (man[i] > alive)
        {
            printf("初始编号:%d,约瑟夫环编号:%d\n",i+1,man[i]);
        }
    }
    printf("\n");
}


int main(int argc, const char * argv[])
{
    // std::cout << "Hello, World!\n";
    int alive;
    
    printf("约瑟夫环问题求解!\n");
    printf("输入需要留存的人的数量:");
    scanf("%d",&alive);
    Josephus(alive);
    
    return 0;
}

演算结果:

                  

在这里，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。- -

二、复杂约瑟夫环算法

问题描述:

      在控制台下实现约瑟夫环：编号为1，2，3，……，n 的 n 个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。一开始任选一个正整数作为报数上限值 m，从第一个人开始按顺时针方向自1开始报数，报到 m时停止报数。报m的人出列，将他的密码作为新的 m 值，从他在顺时针方向上的下一个人开始重新报数，如此下去，直至所有人全部出列为止。

      我们先分析一这个下问题，同前面的约瑟夫环相比明显复杂得多,主要体现在如下几点:

• 这里,参考人的个数为n是一个可变量,因此，不能使用数组来表示,应该使用链表结构来表示.另外，这n个人首尾相接构成一个环，因此应该使用循环链表处理这个问题。
• 约瑟夫环的出列数字不是固定值，而是每个人具有不同的值。这要在程序中分别处理。

其它部分和前述的约瑟夫环类似。我们可以参照这里的分析和前述的算法来编写这个复杂约瑟夫环的求解算法.代码如下:

#include <iostream>
#include <time.h>
#include <string.h>

typedef struct node
{
    int number;         //游戏者编号
    int psw;            //出列数字
    struct node *next;  
}LNode,*LinkList;

void insertList(LinkList *list,LinkList q,int number,int psw)   //添加新结点
{
    LinkList p;
    p = (LinkList)malloc(sizeof(LNode));
    p->number = number;
    p->psw = psw;
    if (!*list)
    {
        *list = p;
        p->next = NULL;
    }
    else
    {
        p->next = q->next;
        q->next = p;
    }
    
}

void CircleFun(LinkList *list,int m)    //算法
{
    LinkList p,q;
    int i;
    q = p = *list;
    while (q->next != p)
    {
        q = q->next;
    }
    
    printf("游戏者按照如下顺序出列.\n");
    while (p->next != p)
    {
        for (i = 0; i<m-1; i++)
        {
            q = p;
            p = p->next;
        }
        
        q->next = p->next;  //删除p指向的结点
        printf("第%d个人出列,其手中的出列数字为%d.\n",p->number,p->psw);
        m = p->psw;         //重置出数列字
        free(p);
        p = q->next;
    }
    printf("\n最后一个人是%d,其手中的出列数字为%d.",p->number,p->psw);
}


int main(int argc, const char * argv[])
{
    // std::cout << "Hello, World!\n";
    int alive;
    
    LinkList list1 = NULL,q= NULL,list;
    int num,baoshu;
    int i,e;

    printf("约瑟夫环问题求解!\n");
    printf("输入约瑟夫环中的人数:\n");
    scanf("%d",&num);
    
    printf("按照顺序输入每个人手中的出列数字:\n");
    for (i= 0; i<num; i++)
    {
        scanf("%d",&e);
        insertList(&list1, q, i+1, e);
        if (i == 0)
        {
            q = list1;
        }
        else
        {
            q = q->next;
        }
    }
    q->next = list1;
    list = list1;
    
    printf("请输入第一次出列的数字:\n");
    scanf("%d",&baoshu);
    CircleFun(&list, baoshu);
    printf("\n");
  
    
    return 0;
}

演算结果:

       

参考书籍:《C/C++常用算法手册》