Lambda算子6b: SKI组合子(下)
接着昨天的写：
继续谈论SKI前，得澄清一件重要的事。我说用S K K可以创建等价于
lambda x . x的东西，并不等于我们可以把S K K归约到lambda x. x。在我们讨论的lambda算子里，我们说”x = y”当且仅当x和y要么完全一样，要么可以通过alpha变换变得一样（所以
lambda x y . x + y 等于
lambda a b . a + b, 但却不等于
lambda x y . y + x）。这叫做intentional equivalence（内涵等价？）。不过另外一种等价关系极其有用。我们称之为extensional equivalence(外延等价？)或extentional equality。在extensional equality里，表达式X和表达式Y相等当且仅当X和Y如前所述等价，或者对任意值a, X a ＝ Y a。从现在开始，我们用“＝”或等价指代extensional equality。呵呵，其实编程的时候，equals()也是一个很难实现正确的函数。不然C＋＋不会在STL里加入等价的概念；Java里
((Long)0L).equals(0) 居然返回false；Ruby里有equal?, eql?，和==；Common Lisp里有eq， eql， equal， 和equalp；而Joshua Bloch在Effective Java里用了整整一节讨论equal。更不用说我们学习逻辑的时候，要仔细定义什么叫做等价。
其实，我们可以把
任何lambda表达式转换为等价的组合子项。我们可以如下定义转换方程C， 把lambda表达式转换为SKI组合子表达式：
(1)
C{x} = x
(2)
C{E1 E2} = C{E1} C{E2}
(3)
C{lambda x . E} = K C{E} 如果x不是E的自由变量
(4)
C{lambda x . x} = I
(5)
C{lambda x. E1 E2} = (S C{lambda x.E1} C{lambda x.E2})
(6)
C{lambda x.(lambda y. E)} = C{lambda x. C{lambda y .
E}}, 如果x是E的自由变量
我们来一步一步推导一个例子：
C{lambda x y . y x}
=> Curry
一把
: C{lambda x . (lambda y . y x)}
=> By rule 6: C{lambda x .
C{lambda y . y x}}
=> By rule 5: C{lambda x . S C{lambda y. y} C{lambda y . x}}
=> By rule 4: C{lambda x . S I C{lambda y . x}}
=> By rule 3: C{lambda x . S I (K C{x})}
=> By rule 1: C{lambda x . S I (K x)}
=>
By rule 5: S C{lambda x . S I} C{lambda x .
(K x)}
=> By rule 3: S (K (S I)) C{lambda x . K x}
=> By rule 5: S (K (S I)) (S C{lambda x . K} C{lambda x . x})
=> By rule 1: S (K (S I)) (S C{lambda x . K} I)
=> By rule 3: S (K (S I)) (S (K K) I)
现在的问题是，我们怎么知道最后的结果
S (K (S I)) (S (K K) I) 和给出的公式
lambda x y . y x 等价？简单，我们传给这个SKI表达式两个参数，x和y， 然后规约，看看结果是不是等于y x:
S (K (S I)) (S (K K) I) x y- 我们先引进一些变量，让式子好读一些。
A=(K (S I)), B = (S (K K) I), 于是原公式变为S A B x y - 展开 S:
(A x (B x)) y - 替换 B:
(A x ((S (K K) I) x)) y - 规约掉S:
(A x ((K K) x (I x))) y - 规约掉 I:
(A x ((K K) x x)) y - 规约
(K K) x:(A x (K x)) y - 替换A:
((K (S I)) x (K x)) y - 规约
(K (S I)) x, giving:((S I) (K x)) y - 规约 S:
I y (K x) y - 规约 I:
y (K x) y - 最后规约
(K x) y得到:y x
因为C的存在，每一个lambda公式都能被转换为SKI组合子表达式。这是何等漂亮的结果！Lambda算子作为计算系统已经够简单了。可没有Curry等数学家的天才，我们很难想象，其貌不扬的组合子S和K，竟然也能构成同样图灵完备的计算系统。事实上，法国闲人David Madore就搞出了一门变态语言， unlambda。在unlambda里，所有东西都是函数。基本操作就是S， K， 和I三个组合子。当然，unlambda也加入一些扩展，让程序稍微好些一点。但这些扩展只是句法糖而已。Good Math Bad Math有篇
颇为详尽的文章介绍unlambda。 Unlambda的Hello World:
`r```````````.H.e.l.l.o. .w.o.r.l.di
“`”是函数应用操作符。比如说`AB表示把函数A应用到参数B上。“
.”是一个元操作符号。
.X返回X并打印出X
。“r”表示回车。最后的”i”是I组合子。而下面的程序打印出非波拉契数列，并在数列的每一项，F(n),旁边打印出n个星号，”*”：
```s``s``sii`ki `k.*``s``s`ks ``s`k`s`ks``s``s`ks``s`k`s`kr``s`k`sikk `k``s`ksk
如果还有老大不满足，还可以去学习另一门基于
SKI
组合子的语言，
Lazy K
。下面的程序打印出所有的质数：
K
(SII(S(K(S(S(K(SII(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(S(KS)(SS(S(S(KS)K))(KK)))))
(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(S(KS)(S(KK)(SII)))
(K(SI(KK)))))))(K(S(K(S(S(KS)(S(K(SI))(S(KK)(S(K(S(S(KS)K)(S(S(KS)K)I)
(S(SII)I(S(S(KS)K)I)(S(S(KS)K)))))(SI(K(KI)))))))))(S(KK)K)))))))(K(S(KK)
(S(SI(K(S(S(S(S(SSK(SI(K(KI))))(K(S(S(KS)K)I(S(S(KS)K)(S(S(KS)K)I))
(S(K(S(SI(K(KI)))))K)(KK))))(KK))(S(S(KS)(S(K(SI))(S(KK)(S(K(S(S(KS)K)))
(SI(KK))))))(K(K(KI)))))(S(S(KS)(S(K(SI))(SS(SI)(KK))))(S(KK)
(S(K(S(S(KS)K)))(SI(K(KI)))))))))(K(K(KI))))))))))(K(KI)))))(SI(KK)))))
(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(S(K(S(S(KS)K)I))(S(SII)I(S(S(KS)K)I)))))))K))))
(S(S(KS)(S(KK)(SII)))(K(SI(K(KI)))))))(SII(S(K(S(S(KS)(S(K(S(S(SI(KK))
(KI))))(SS(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(SI))K)))))(KK))))))(S(S(KS)
(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(S(KS)(S(KK)(SII)))(K(S(S(KS)K)))))))(K(S(S(KS)
(S(K(S(S(SI(KK))(KI))))(S(KK)(S(K(SII(S(K(S(S(KS)(S(K(S(K(S(S(KS)(S(KK)
(S(KS)(S(K(SI))K))))(KK)))))(S(S(KS)(S(KK)(S(K(SI(KK)))(SI(KK)))))
(K(SI(KK))))))))(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(S(KS)(S(KK)(SII)))
(K(SI(K(KI))))))))(K(K(SI(K(KI)))))))))(S(K(SII))(S(K(S(K(SI(K(KI))))))
(S(S(KS)(S(KK)(SI(K(S(K(S(SI(K(KI)))))K)))))(K(S(K(S(SI(KK))))
(S(KK)(SII)))))))))))(K(SI(K(KI))))))))(S(S(KS)K)I)
(SII(S(K(S(K(S(SI(K(KI)))))K))(SII)))))