CG笔记之二——曲线和曲面

  CG造型中用到较多曲线论和曲面论的知识,这在一般分析学课程中不作为重点,而属于微分几何讲授的内容。一些不十分艰深的数学参考书,如南开大学数学丛书系列之一《微分几何》(孟道骥,梁科著,科学出版社出版),都能对相关理论内容做较详细的阐述。
  在曲线连续部分,有关G2和C2关系问题,容易引起一些误解。其实G2已经保证了k(s)*N(s)的相等,但C2的要求是P"(t)的相等,而这要比前者要求更严格。
  有关G2本质上等价于k(s)*N(s)相等的论证如下:
  G2要求有公共“曲率矢”:
  P'(1)×P"(1)/|P'(1)|3 = Q'(0)×Q"(0)/|Q'(0)|3    (式1)
  由于P'(t)=sP'(t)*TP(t),P"(t) = kP(t)*sP'2(t)*NP(t)+sP''(t)*TP(t),代入式1,有:
  sign(sP'(1))*kP(1)*BP(1)=sign(sQ'(0))*kQ(0)*BQ(0)    (式2)
  另外根据G1有a*P'(1)=Q'(0),且a>0,于是,a*sP'(1)*TP(1)=sQ'(0)*TQ(0),有sign(sP'(1))*TP(1)=sign(sQ'(0))*TQ(0),两侧和式2做外积得到:kP(1)*NP(1)=kQ(0)*NQ(0),容易完成相反方向的论证,由此等价关系成立。k(s)*N(s)相等的条件要比C2要弱,因为即使曲线曲率和法矢量一致,但P"却在密切平面上具有一定的自由度,只要保证最终产生规定的N向量和曲率即可。

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