复变函数 学习心得

好久没更新博客了,原因很多;主要的一点是我在中途换了本书,由《复变函数及应用》换成了《复分析基础及工程应用》,然后又从头看了。现在大概说说这门学问的学习感受吧!
首先,与微积分相比,它的学习难度要小很多,里面的大部分证明都是短小精悍,非常容易接受的;但是个别定理,比如柯西定理等等,由于受到拓扑知识的约束,一般书上都会略去不证。但是,学的时候一定要注意跟微积分中一些结论的区别,例如:在某一点解析,那么就有无穷次导数;柯西积分公式,洛朗级数,留数等。
其次,说说跟学习的内容吧,一般而言都是上来先讲复数,然后将解析函数,然后讲一些常用的函数(例如指数,对数,三角,多项式),然后讲复积分,然后讲级数,然后讲留数,最后有的书会将初等映射。相比之下,前3章(复积分之前),都是在打基础,解析函数的知道满足的关系式,具体函数中注意Log的分支,指数函数的定义稍有奇葩外,都是一些简单的东西,到了复积分,可以说才有了复变自己的内容。积分不仅在实数上是困难的,在复数上也是一样,所以这一章的内容主要围绕如何算复积分展开。总体上讲,有3种方法:参数方程、如果解析,求原函数、柯西积分公式,其中第3种方法是复变特有的。到了级数部分其实是既熟悉又陌生的。泰勒级数大家都会,但是讲完泰勒级数以后还会讲一个幂级数,为洛朗级数做准备,而在讲洛朗级数时,不论前面的定义如何,但落实到具体计算时,都是转化为与幂级数相关的形式计算。而留数的作用,我理解有的时候也是在帮你算积分:柯西定理告诉你,如果解析,那么积分为0,柯西积分公式告诉你如果有1个极点,那么该如何处理,而留数告诉你,如果有多个极点,该如何处理。关于留数的应用,很大一部分都是再算积分(一般或者反常积分)!基本思想也差不多,可见计算积分一直是所有人的心头大患,想法利用简单的方法搞定是数学家们的期望。
最后,复变还稍微学了一点以前公认的东西,例如代数学基本定理的证明使用复变就很简单。


最后,对比一下上面提到的两本书吧。个人感觉《复分析基础及工程应用》是一本更好的教科书,主要原因在于:
1.结构,章节条目更清晰,而且,定义,定理,以及对定理的证明都用粗体标出来了,书后也有便于查阅用的索引页码。而且清楚的告诉了读者,那些内容讲了,那些内容只讲了特例,哪些内容没讲。而且每章后有简短的总结,帮你梳理主要内容。
2.它的讲述的内容更加细致,深入,比如:在初等函数这一章,专门证明了如何部分分式展开;在积分那一张,他给出的复积分的定义是分隔求和取极限,而《复变函数及应用》则直接用的是参数方程定义,感觉很不协调。在级数那一张,它就专门讲了级数收敛的判别法及相关的内容;而在柯西积分定理中,使用了向量分析(格林公式)证明,又使用了周线变形法证明;
3.《复分析基础及工程应用》中应用的例子讲的是与通信紧密相关的傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换等内容,更适合工科学生,而《复变函数及应用》的例子更偏物理一些。
4.《复分析基础及工程应用》中共性映射的讲法是先给出概念,然后举一些例子;而《复变函数及应用》则是先给出一些映射的例子,然后再讲共性映射,这样感觉开始会有点迷茫,不过我也就是看一个基本概念,因为工作中似乎用不到。
当然《复变函数及应用》的优点也是很明显的,它略去了很多繁琐的细节,直奔主题,如果你想直接搞清楚怎么用,学这本会更快一些。很多章节的安排都是先告诉你一个定理,然后举好几个例子,最后再给出定理的证明。而且课后题也会稍微简单一点,偏计算为主,证明题稍微复杂一点的,都会给出提示。


应用部分我只看了《复分析基础及工程应用》,因为它们与通信专业关系非常密切;《复变函数及应用》的应用比较偏物理,我觉得还是算了吧。

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