Physically Based Modeling: Particle System Dynamics(粒子运动)
Physically Based Modeling: Particle System Dynamics
2008-11-23
我们身边的所有物体几乎都是由粒子(Particle)所构成的。在计算机动画中，模拟真实的世界时候，不可避免的要模拟这些粒子的运动。比如胶状体果冻就是很典型的例子。在PSP上有一款叫做《LocoRoco》游戏，游戏的主角就是一个像果冻一样的东西，当它被其他物体挤压的时候，能够明显看到它的物理变形，模拟得相当真实。粒子运动不同于刚体运动，粒子运动时，可能会引起物体形状的变化，就像上面说的果冻一样。
一个粒子可以用它的位置和速度来描述。在描述粒子的时候，它的速度是一个瞬时速度，我们可以用一个向量来表示这个速度。这个速度是由时间t和位置来决定的，因为粒子在不动的时间和位置速度都不相等。我们可以用下面这个微分方程来描述它们之间的关系。
这里X(t)表示粒子P在不同时刻的位置，f(x,t)表示粒子P不同时刻，不同位置的速度。
在上图中表示了一个粒子在某时刻的状态。其实这是一个初始值的问题，如果把粒子在不同的时刻放到不同的地方，那么它的速度是不一样。即使在不同时刻放在同一地方，粒子的速度也是不一样的。粒子是沿着途中蓝色的这条轨迹运动的，在很短的时间内( )，我们可以把粒子的运动轨迹看成是直线的，于是可以通过这种方法来近似模拟粒子的运动。下面用欧拉(Euler)方法来近似。在欧拉方法中，给出下面的等式。
这是一种用线性函数替代非线性函数的方法。从上式中可以看到其实这是泰勒(Taylor)的展开式的切断，因为这个式子可以写成
而泰勒展开式：
前面已经说过了 。但是用欧拉方法很不精确，且不稳定，从公式中我们可以看到它对于二阶导数以后的高阶导数等于0的函数可以准确的近似。在欧拉方法中，近似的精确程度取决于时间间隔长短 
。 越小，近似得越精确。
上图中可以看到，蓝色是粒子实际运动轨迹，红色的是使用较小 来近似的轨迹，黄色的使用较大的 来近似的轨迹。当然还有很多方法来近似粒子的运动，这里只用欧拉方法来模拟粒子的运动。
下面来看看怎样具体的描述粒子的状态。
我们可以在“相空间”里描述粒子的状态，“相空间”是一个六维空间，我们可以分别
用位置和速度来描述 ：，和它的导数来描述 
，于是可以得到：
因为对速度在求导数可以得到它的加速度，再根据F = ma可以得到上面的结果。于是一个粒子可以描述为：
一个粒子系统由很多粒子所组成，我们可以用下面的图来表示。
当然力也存在在粒子系统中，现在我们把力也添加到粒子系统中。
下面来看看一个系统都有可能受到那些力的影响。
重力(Gravity)
万物都受到重力的影响，根据公式可以很容易计算出重力的大小，当然它的方向是向下的。
在系统中，重力和粒子，粒子系统间的关系可以用下图来表示。
从图中可以看出粒子，粒子系统，力之间的关系。一个力包含了很多信息，其中sys表示这个力属于哪个粒子系统，p表示这个力作用于哪些粒子，G表示重力常数，apply_force是计算该力的方法。
粘滞拽力(Viscous Drag)
粘滞拽力是粒子间相互作用的力。它的公式是：
整个模型和重力是一样的，只是重力常数G变成了粘滞拽力常数K。
阻尼弹力(Damped Spring)
阻尼弹力也是粒子间相互作用的力，它的计算有个比较复杂的公式，如下。
这里和
都是阻尼常数。 
是弹簧被拉伸或压缩后的距离，在这里就是2个粒子间的实际距离，r是弹簧自然长度， 
是弹簧两端粒子的速度差，下面这个图描述了它们的关系。
同样它和粒子，粒子系统间有下面的关系。
下面用代码实现一个粒子系统的主要部份。
- //
- //关于力的基类，将它定义为虚类是因为可以很方便的继承和修改里面的函数。
- //
- class GForceObj
- {
- public:
- GForceObj() {};
- virtual ~GForceObj() {};
- virtual void SetGravity(const GVector3 &_Force) {};
- virtual void SetForce(const GVector3 &_Force) {};
- virtual void ApplyForce() = 0;
- //友元类
- friend class GParticle;
- friend class GPSystem;
- };
- //
- //派生于力基类的重力
- //
- class Gravity : public GForceObj
- {
- public:
- Gravity(const GVector3 &_Force = GVector3(0.0, -9.8, 0.0));
- Gravity(const Gravity ©);
- virtual ~Gravity() {};
- void AddParticle(GParticle *P);
- virtual void SetGravity(const GVector3 &_Force);
- virtual void ApplyForce();
- friend class GParticle;
- friend class GPSystem;
- private:
- GVector3 Force;
- vector<GParticle *> Particles;
- };
- //
- //粘滞拽力
- //
- class GViscosity : public GForceObj
- {
- public:
- GViscosity(const double &_Kd = 1.0);
- GViscosity(const GViscosity ©);
- virtual ~GViscosity() {};
- void AddParticle(GParticle *P);
- virtual void ApplyForce();
- private:
- double Kd; //粘滞常数
- vector<GParticle *> Particles;
- };
- //
- //外力，粒子除了收到重力，粘滞拽力，弹力的影响外，还可以受到外力的影响
- //
- class GExtForce: public GForceObj
- {
- public:
- GExtForce(const GVector3 &_Force = GVector3());
- GExtForce(const GExtForce ©);
- virtual ~GExtForce() {};
- void AddParticle(GParticle *P);
- virtual void SetForce(const GVector3 &_Force);
- virtual void ApplyForce();
- private:
- GVector3 Force;
- vector<GParticle *> Particles;
- };
- //
- // 关于描述弹力信息的类，一个弹力连接了2个粒子，相当于一个弹簧连接了2个粒子
- // 在粒子系统中，我们要通过这个类来设定弹簧的自然长度，和连接的粒子
- //
- class GSpringInfo
- {
- public:
- GSpringInfo(){};
- GSpringInfo(GParticle* _P0,GParticle* _P1,double _len);
- private:
- double InitLen; //弹簧自然长度
- GParticle *P0; //粒子1
- GParticle *P1; //粒子2
- friend class GSpring;
- };
- //
- //弹力
- //
- class GSpring : public GForceObj
- {
- public:
- GSpring(const double &_Ks, const double &_Kd);
- GSpring(const GSpring ©);
- virtual ~GSpring(){};
- void AddSpringInfo(GSpringInfo* sif);
- virtual void ApplyForce();
- private:
- float Ks,Kd; //阻尼系数
- vector<GSpringInfo *> SpringInfo;
- };
- //粒子类
- class GParticle
- {
- public:
- //初始化粒子，默认质量为1.0
- GParticle(const double &_Mass = 1.0, const GVector3 &_Pos = GVector3(), const GVector3 &_Vel = GVector3(), const GVector3 &_Force = GVector3(),bool movable = true);
- GParticle(const GParticle ©);
- ~GParticle();
- void SetPos(const double &x, const double &y, const double &z); //设置粒子的位置
- void SetMovable(bool movable); //设置该粒子是否可以移动
- GVector3 GetPos() const;
- friend class GPSystem;
- friend class GForceObj;
- friend class GExtForce;
- friend class Gravity;
- friend class GViscosity;
- friend class GSpring;
- private:
- double Mass; //质量
- GVector3 Pos; //位置
- GVector3 Vel; //速度
- GVector3 Force; //力
- bool Movable; //是否可以移动
- };
- //
- //粒子系统
- //
- class GPSystem
- {
- public:
- GPSystem();
- GPSystem(const GPSystem ©);
- ~GPSystem();
- void ClearForce(); //清空所有的力(设置所有力为0)
- void ComputeForce(); //计算力
- void EulerStep(const double &dt); //这就是上面说的是用欧拉方法来模拟粒子运动
- void AddParticle(GParticle *P);// 添加粒子到粒子系统
- void AddForce(GForceObj *F); //添加力到粒子系统
- int GetNumParticle() const; //获取粒子总个数
- int GetNumForce() const; //获取力的总个数
- GParticle *GetParticle(int idx); //获取粒子
- GForceObj *GetForce(int idx); //获取力
- friend class GForceObj;
- friend class Gravity;
- friend class GViscosity;
- friend class GExtForce;
- private:
- double Time; //欧拉方法中的时间步长，越小模拟越精确
- GParticle* pParticle;
- vector<GParticle *> Particles;
- vector<GForceObj *> Forces;
- };
- GPSystem::~GPSystem()
- {
- //删除所有粒子
- vector<GParticle *>::iterator it0;
- for (it0 = Particles.begin(); it0 != Particles.end(); ++it0)
- delete (*it0);
- //删除所有力
- vector<GForceObj *>::iterator it1;
- for (it1 = Forces.begin(); it1 != Forces.end(); ++it1)
- delete (*it1);
- }
- void GPSystem::ClearForce()
- {
- int NumPtcle = (int)Particles.size();
- for (int i = 0; i != NumPtcle; ++i)
- Particles[i]->Force.Set(0.0, 0.0, 0.0);
- }
- void GPSystem::ComputeForce()
- {
- int NumForce = (int)Forces.size();
- for (int i = 0; i != NumForce; ++i)
- Forces[i]->ApplyForce();
- }
- //
- //欧拉方法的实现
- //
- void GPSystem::EulerStep(const double &dt)
- {
- int NumPtcle = (int)Particles.size();
- for (int i = 0; i != NumPtcle; ++i)
- {
- GVector3 xDot = Particles[i]->Vel; //xDot表示对位置求导数，得到了粒子的速度。
- GVector3 vDot = Particles[i]->Force / Particles[i]->Mass;// vDot表示对速度求导数，得到了粒子的加速度，加速度就是f/m
- Particles[i]->Pos += dt * xDot; //dt时间后的位置
- Particles[i]->Vel += dt * vDot; //dt时间后的速度
- }
- }
- //
- //重力
- //
- void Gravity::ApplyForce()
- {
- int len = (int)Particles.size();
- for (int i = 0; i < len; ++i)
- {
- GParticle *Ptc = Particles[i];
- if(Ptc->Movable)
- Ptc->Force = Ptc->Force + Force;
- }
- }
- //
- //粘滞拽力
- //
- void GViscosity::ApplyForce()
- {
- int len = (int)Particles.size();
- for (int i = 0; i < len; ++i)
- {
- GParticle *Ptc = Particles[i];
- if(Ptc->Movable)
- Ptc->Force = Ptc->Force - Kd * Ptc->Vel;
- }
- }
- //
- //外力
- //
- void GExtForce::ApplyForce()
- {
- int len = (int)Particles.size();
- for (int i = 0; i < len; ++i)
- {
- GParticle *Ptc = Particles[i];
- if(Ptc->Movable)
- Ptc->Force = Ptc->Force + Force;
- }
- Force.Set(0.0, 0.0, 0.0);
- }
- //
- //弹力
- //
- void GSpring::ApplyForce()
- {
- int len = (int)SpringInfo.size();
- for(int i=0; i<len; ++i)
- {
- GParticle *p0 = SpringInfo[i]->P0;
- GParticle *p1 = SpringInfo[i]->P1;
- GVector3 f0, f1;
- GVector3 l = p0->Pos - p1->Pos;
- GVector3 ldot = p0->Vel - p1->Vel;
- f0 = -(Ks * (norm(l) - SpringInfo[i]->InitLen) + Kd * ldot * l / norm(l)) * l / norm(l);
- f1 = -f0;
- if(p0->Movable)
- p0->Force = p0->Force + f0;
- if(p1->Movable)
- p1->Force = p1->Force + f1;
- }
- }
*原创文章，转载请注明出处*
下面是用上面方法模拟粒子运动视频地址：
http://kr.youtube.com/watch?v=V9tUqFxS9H0