《Algorithms》第3章：Decompositions of graphs 学习笔记

Chapter 3：Decompositions of graphs

1、图有什么应用？

• 解决四色问题时，忽略地图中的次要因素，把四色问题抽象成图论问题
• 解决安排考试问题（需要安排最短的时间考完所有的试，假设有一个学生需要参加两场考试，则这两场考试需分不同的时间段），把每门考试抽象为顶点，把需要参加两门考试的学生抽象成边并连接这两个顶点，则这个问题又变成了四色问题。
  

2、图的表示方法：

• 邻接矩阵，适合稠密图，查找边的时间为常量。占空间大。
• 邻接表，适合稀疏图，查找边时间不是常量，易于访问一个顶点的邻居。

3、深度优先搜索（DFS）

• 如果用邻接表，则时间复杂度为O(|V| + |E|) ，|V|代表对所有的顶点设为未访问，|E|代表对于每条边都需要检查一次。
• 是最优算法，因为算法的复杂度和输入规模的复杂度渐近相等（算法的复杂度不可能比输入的复杂度更小）。
• 无向图中，DFS生成的搜索森林个数等于连通分量个数。

4、有向图中的边分为四种：

• Tree edges
• Forward edges
• Back edges
• Cross edges

5、A directed graph has a cycle if and only if its depth-first search reveals a back edge.

6、关于有向图的连通：Two nodes u and v of a directed graph are connected if there is a path from u to v and a path from v to u.

例：一个有向图和它的强连通分量：

7、Every directed graph is directed acyclic graph of its strongly connected components. 上图也可以印证这一点。

8、如何找出有向图的强连通分量：

• 任意进行一次DFS，记录下每个节点的离开时间
• 选择具有最晚离开时间的顶点，对原图的逆向图做DFS，删除能够遍历到的顶点，这些点构成一个强连通分量
• 如果还有顶点没有被删除，回到第二步，否则结束