调和级数
调和级数
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无穷级数
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调和级数是一个发散的无穷级数，表达式为：
- .
这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样地也是源自音乐。
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[编辑]历史
早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但这项成就并未为世人所知。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。
调和序列历来很受建筑师重视；这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。[1]
[编辑]入门
对刚接触这个级数的人而言，调和级数是违反直觉的——尽管随着n不断增大，1/n无限接近0，但它却是一个发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一个例子。[2]假设一条蠕虫沿着一条1米长的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟之后均匀伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋，蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗？与直觉相反，答案是肯定的：n分钟之后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为：
由于调和级数发散（证明见本条目“发散性”一节），即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大，所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这个时刻的n的值极其之大，约为e100，超过1040（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散的，但它发散的速度非常慢。
另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，你可以把它们叠在一起，并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要你的骨牌足够多，你就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。[2][3]一个较简单的证明如下：
设每一块骨牌的长度为。再设一叠n个平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为；在只有1个骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀），即。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌，在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌），而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为，则有：。根据质心的坐标系计算公式，可得到新的骨牌叠的质心为：
则，即。
也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的1/2，第二、三层间水平距离是骨牌长度的1/4，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的1/6……依此类推。最终，最顶层和最底层骨牌的水平距离是：
因为调和级数发散，所以当骨牌数目n趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大。
[编辑]发散性
[编辑]比较审敛法
因此该级数发散。
[编辑]积分判别法
通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中正方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1 / n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1 / n），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和：
而曲线y = 1 / x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出：
由于这一部分面积包含于（换句话说，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确的说，这证明了：
这个方法的拓展即积分判别法。
[编辑]反证法
假设调和级数收敛 , 则：
但与 矛盾，故假设不真，即调和级数发散。
[编辑]发散率
调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前1043项的和还不足100。[4]这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地，
其中是欧拉-马歇罗尼常数，而约等于，并且随着 趋于正无穷而趋于0。这个结果由欧拉给出。
[编辑]部分和
调和级数的第n个部分和为：
也叫作第n个调和数。
第n个调和数与n的自然对数的差值（即）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。
两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。
除了n=1时以外，没有任何一个调和数是整数。[5]
[编辑]相关级数
[编辑]交错调和级数
如下级数：
被称作交错调和级数。这个级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地，这个级数的和等于2的自然对数：
这个公式是墨卡托级数（自然对数的泰勒级数形式）的一个特例。
从反正切函数的泰勒展开式可以导出一个相关级数：
这个级数也被称作π的莱布尼茨公式。
[编辑]广义调和级数
广义调和级数是指有如下形式的级数：
其中 且 为实数。
由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。 [6]
[编辑]P-级数
调和级数广义化的其中一个结果是p-级数，定义如下：
其中P是任意正实数。当p=1，p级数即调和级数。由积分判别法或柯西并项判别法(en:Cauchy condensation test（英文）)可知p-级数在p>1时收敛（此时级数又叫过调和级数(over-harmonic series)），而在p ≤ 1时发散。 当p>1时，p-级数的和即ζ(p)，也就是黎曼ζ函数在p的值。
[编辑]φ-级数
对一个凸实值函数φ，若满足以下条件：
则级数∑n≥1 φ(n−1)收敛。
[编辑]随机调和级数
随机调和级数定义如下：
其中sn是独立的、恒等分布的随机变量，取值范围为+1和-1，取这两个值的概率都是1/2。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，[7][8]并发现这个级数收敛的概率为1，并发现这个随机变量有着一些有趣的性质。特别地，这个随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为0.124999999999999999999999999999999999999999764…，与1/8只差了不到10−42。施姆兰的论文解释了为什么这个概率如此接近、但却不是1/8。这个概率的精确值是由无穷余弦乘积积分除以π而给出的。[9]
[编辑]贫化调和级数
贫化调和级数是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这个级数是收敛的，和小于80。[10]实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。
[编辑]参见
- 调和级数
- 无穷级数
- 调和平均数
- 黎曼ζ函数
[编辑]参考
- ^ George L. Hersey, Architecture and Geometry in the Age of the Baroque, p 11-12 and p37-51.
- ^ 2.0 2.1 Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren, Concrete Mathematics. 2nd, Addison-Wesley. 1989: 258–264, ISBN 978-0-201-55802-9
- ^ Sharp, R.T., Problem 52: Overhanging dominoes, Pi Mu Epsilon Journal. 1954: 411–412
- ^ Sequence A082912 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- ^ http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
- ^ Art of Problem Solving: "General Harmonic Series"
- ^ "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
- ^ Schmuland's preprint of Random Harmonic Series
- ^ Weisstein, Eric W. “Infinite Cosine Product Integral.” From MathWorld – a Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/InfiniteCosineProductIntegral.html accessed 11/14/2010
- ^ Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72