简单的传球游戏（矩阵）
简单的传球游戏
K(3<=K<=10^9)个人互相传球，某人接球后立即传给别人。假定初始状态球在甲手中，并将甲发球作为第一次传球过程。求经过N(N<=10^9)次传球后，球又回到甲手中的传球方案数，输出这个数模10^9+7后的结果。
Input
第一行是一个整数T(T<=20000)，表示测试数据的组数。
接下来T行，每行输入两个数N,K(3<=K<=10^9,1<= N<=10^9)。
Output
输出T行，每行输出一组N,K对应方案数模10^9+7后的结果。
Sample Input
2 3 3 3 4
Sample Output
2 6
Hint
第一组样例，N=3,K=3，三个人传三次的传球方式是：
1. A->B->C->A
2. A->C->B->A
Source
Author
sqy
题目链接：http://www.bnuoj.com/bnuoj/problem_show.php?pid=49104
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题目意思：有K个人相互传球，从甲开始到甲结束，传N次球。（注，自己不能传给自己）
分析与解答：设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方法有a[n]种，可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他K-1人中的一人进行传球，也就是每次传球都有K-1种可能，由乘法原理，共有(K-1)^(n-1)种 。这些传球方式并不完全符合条件，分为两类：一类是第n-1次恰好传到甲手中，有a[n-1]种，不符合条件，因为这样第n次就不能再传给甲了；另一类是第n-1次没在甲手里，第n次持球人再将球传给甲有a[n]种方法,根据加法原理有a[n-1]+a[n]=(K-1)^(n-1)由于甲是发球者，所以a[1]=0;利用递推关系可得
思路：an(n表示传n次球,回到甲手中的次数);
a1=0;
a2=(K-1)^1-a1;
a3=(K-1)^2-a2;
a4=(K-1)^3-a3;
......
这里特别注意，取余的时候，存在越界的情况，我也WA了好几次 T^T .
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define mod 1000000007
struct matrix
{
LL mat[2][2];
};
matrix multiply(matrix a,matrix b)
{
matrix c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
for(int i=0;i<2;i++)
{
for(int j=0;j<2;j++)
{
if(a.mat[i][j]==0)continue;
for(int k=0;k<2;k++)
{
if(b.mat[j][k]==0)continue;
c.mat[i][k]+=a.mat[i][j]*b.mat[j][k]%mod;
// c.mat[i][k]%=mod;
if(c.mat[i][k]>mod) c.mat[i][k]-=mod;//果然这里超了。。。
else if(c.mat[i][k]<0) c.mat[i][k]+=mod;
}
}
}
return c;
}
matrix quicklymod(matrix a,LL n)
{
matrix res;
memset(res.mat,0,sizeof(res.mat));
for(int i=0;i<2;i++) res.mat[i][i]=1;
while(n)
{
if(n&1)
res=multiply(a,res);
a=multiply(a,a);
n>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
LL N,K;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&N,&K);
if(N==1){printf("0\n");continue;}
//if(N==2){printf("%lld\n",K-1);continue;}
matrix ans;
ans.mat[0][0]=K-1;
ans.mat[0][1]=0;
ans.mat[1][0]=K-1;
ans.mat[1][1]=-1;
// ans=quicklymod(ans,N-2);
// LL res=(((K-1)%mod)*(ans.mat[1][0]+ans.mat[1][1])%mod)%mod;
// printf("%lld\n",res);
ans=quicklymod(ans,N-1);
printf("%lld\n",ans.mat[1][0]);
}
return 0;
}
再上另外两种方法：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define mod 1000000007
struct matrix
{
LL mat[2][2];
};
matrix multiply(matrix a,matrix b)
{
matrix c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
for(int i=0;i<2;i++)
{
for(int j=0;j<2;j++)
{
if(a.mat[i][j]==0)continue;
for(int k=0;k<2;k++)
{
if(b.mat[j][k]==0)continue;
c.mat[i][k]=(c.mat[i][k]+a.mat[i][j]*b.mat[j][k])%mod;
}
}
}
return c;
}
matrix quicklymod(matrix a,LL n)
{
matrix res;
memset(res.mat,0,sizeof(res.mat));
for(int i=0;i<2;i++) res.mat[i][i]=1;
while(n)
{
if(n&1)
res=multiply(a,res);
a=multiply(a,a);
n>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
LL N,K;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&N,&K);
if(N==1){printf("0\n");continue;}
// if(N==2){printf("%lld\n",K-1);continue;}
matrix ans;
ans.mat[0][0]=0;
ans.mat[0][1]=K-1;
ans.mat[1][0]=1;
ans.mat[1][1]=K-2;
ans=quicklymod(ans,N-1);
// LL res=((K-1)*(ans.mat[1][0]+ans.mat[1][1])%mod)%mod;
// printf("%lld\n",res);
printf("%lld\n",ans.mat[0][1]);
}
return 0;
}
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long pow(long long n,long long k)
{
long long res = 1;
while (k)
{
if (k&1) res = res*n%1000000007;
n = n*n%1000000007;
k >>= 1;
}
return res;
}
long long cal(long long n,long long k)
{
long long res = pow(k-1,n);
if(res && n & 1)
res = 1000000007 - res;
res += (k-1);
if (res >= 1000000007) res -= 1000000007;
res = res * pow(k,1000000005)%1000000007;
if(res && n & 1)
res = 1000000007 - res;
return res;
}
int main()
{
int _;
long long N,K;
scanf("%d",&_);
while (_--)
{
scanf("%lld %lld",&N,&K);
printf("%lld\n",cal(N,K));
}
return 0;
}