每天一道算法题3 求子数组的最大和

原文：http://www.cnblogs.com/mingzi/archive/2009/08/04/1538444.html

题目：输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。

分析：本题最初为2005年浙江大学计算机系的考研题的最后一道程序设计题，在2006年里包括google在内的很多知名公司都把本题当作面试题。由于本题在网络中广为流传，本题也顺利成为2006年程序员面试题中经典中的经典。

如果不考虑时间复杂度，我们可以枚举出所有子数组并求出他们的和。不过非常遗憾的是，由于长度为n的数组有O(n²)个子数组；而且求一个长度为n的数组的和的时间复杂度为O(n)。因此这种思路的时间是O(n³)。

很容易理解，当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。基于这样的思路，我们可以写出如下代码。

参考代码：

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Find the greatest sum of all sub-arrays
// Return value: if the input is valid, return true, otherwise return false
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool FindGreatestSumOfSubArray
(
      int *pData,           // an array
      unsigned int nLength, // the length of array
      int &nGreatestSum     // the greatest sum of all sub-arrays
)
{
      // if the input is invalid, return false
      if((pData == NULL) || (nLength == 0))
            return false;

      int nCurSum = nGreatestSum = 0;
      for(unsigned int i = 0; i < nLength; ++i)
      {
            nCurSum += pData[i];

            // if the current sum is negative, discard it
            if(nCurSum < 0)
                  nCurSum = 0;

            // if a greater sum is found, update the greatest sum
            if(nCurSum > nGreatestSum)
                  nGreatestSum = nCurSum;

      }

      // if all data are negative, find the greatest element in the array
      if(nGreatestSum == 0)
      {
            nGreatestSum = pData[0];
            for(unsigned int i = 1; i < nLength; ++i)
            {
                  if(pData[i] > nGreatestSum)
                        nGreatestSum = pData[i];
            }
      }

      return true;
}

 

讨论：上述代码中有两点值得和大家讨论一下：

·         函数的返回值不是子数组和的最大值，而是一个判断输入是否有效的标志。如果函数返回值的是子数组和的最大值，那么当输入一个空指针是应该返回什么呢？返回0？那这个函数的用户怎么区分输入无效和子数组和的最大值刚好是0这两中情况呢？基于这个考虑，本人认为把子数组和的最大值以引用的方式放到参数列表中，同时让函数返回一个函数是否正常执行的标志。

·         输入有一类特殊情况需要特殊处理。当输入数组中所有整数都是负数时，子数组和的最大值就是数组中的最大元素。

《编程珠机》第八章，8.4扫描算法。

采用类似分治算法的道理：前i个元素中，最大综合子数组要么在i-1个元素中(maxsofar)，要么截止到位置i(maxendinghere)。