Archie osgEarth Step By Step④地图投影类型——墨卡托投影、高斯克吕格投影、UTM投影

地图投影

地图投影实质

可以理解为建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用维度φ和经度λ表示）之间的函数关系，数学公式为

x=f1（φ，λ）

y=f2（φ，λ）

投影变形

将地球椭球面（或球面）上的点投影到平面上，必然会产生变形，也即由投影产生的长度变形、面积变形以及角度变形。

投影变形

μ（长度比）——地面上微分线段投影后长度ds‘与它固有长度ds之比值

P（面积比）——地面上微分面积投影后的大小dF’与它固有的面积dF之比值。

变形椭圆

从上图可以看出，实际上同样大小的经纬线网格在投影平面上变成形状和大小都不相同的图形。为了阐明作为投影变形结果各点上产生的角度和面积变形的概念，法国数学家底索（Tissort）采用了一种图解方法，即通过变形椭圆来论述和显示投影在各方向上的变形。

变形椭圆的意思是，地面上一点处的一个无穷小圆——微分圆（也称单位圆），在投影后一般地成为一个微分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当的、直观的显示变形的特征。（《地图学》P38）

设有半径为r的微分圆，OX，OY为通过圆心的一对正交半径（为便于研究，令此两半径为通过O点的经纬线的微分线段）。

微分圆各元素投影到平面上相应地为O‘，O'X'，O'Y'，其中O'X'，O'Y'为斜坐标轴。按长度比概念有

x’=mx

y‘=ny

m为经线长度比，n为纬线长度比

对于微分圆有x^2+y^2=r^2

代入，得椭圆方程式。

由于斜坐标系应用上不方便，引入主方向概念，也成为底索定律：“无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。”

在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向，取主方向作为微分椭圆的坐标轴，由于主方向投影后保持正交且长度比具有极值的特点，则在对应平面上他们便成为变形椭圆的长、短半轴，并以μ1和μ2表示沿主方向的长度比。如果分别用a、b表示椭圆的长半轴和短半轴，则有：微分椭圆长短半轴的大小，等于该点主方向的长度比。

 

设实地上半径为单位值（r=1）的微分圆

a=b<1 和a=b>1形状没有变化而大小发生了变化，这种投影叫正形投影（或等角投影）

a*b=1 形状变化但面积没有变化，叫做等面积投影

ab不同时为1的其他情形为任意投影，a>r=b有一个为等距离投影

投影变形基本公式

一、长度比公式

μ=ds’/ds

二、面积比公式

P=a*b=m*n*sin（theta‘）

三、角度变形公式

1、经纬线夹角变形

2、最大角度变形公式

一点上可有无数的方向角，投影后这无数的方向角一般都不能保持原来的大小。一点上最大角度变形w可用极值长度比a，b表示

sin(w/2)=(a-b)/(a+b)

几何投影

几何投影特点是将椭球面上的经纬线投影到辅助面上，然后再展开成平面，在地图投影分类时是根据辅助投影面类型及其与地球椭球的关系划分的。

1、按辅助投影面的类型划分：方位投影（以平面作为投影面）、圆柱投影、圆锥投影

2、按辅助投影面和地球（椭球）体的位置关系划分

正轴投影：辅助投影平面与地轴垂直，或者圆锥、圆柱面的轴与地轴重合

横轴投影：辅助投影平面与地轴平行，或者圆锥、圆柱面的轴与地轴垂直（如图）

                            图示  横轴投影

斜轴投影：辅助投影面的中心法线或圆锥、圆柱面的轴与地轴斜交

圆柱投影

墨卡托（Mercator）投影即是圆柱投影的一种，又叫做正轴等角圆柱投影，是16世纪荷兰地图学家墨卡托所创造的，迄今还广泛应用于航海航空方面的重要投影之一。

在正常位置的圆柱投影中，纬线表象，为平行直线，经线表象也是平行直线，且与纬线正交。从几何意义上，圆柱投影是圆锥投影的一个特殊情况。

在圆柱面展开成平面以后，纬圈成了平行直线，经线交角等于0，经线也是平行直线并且与纬线正交。

圆柱投影可以按变形性质分为等角、等面积和任意投影（主要是等距离投影）。

按圆柱面与地球不同的相对位置可分为正轴、斜轴和横轴投影。

又因圆柱面与地球相切（于一个大圆）或相割（于两个小圆）而分为切圆柱或割圆柱投影。

应用上以等角圆柱投影最广（无论是正轴还是横轴）。

一、墨卡托投影（Mercator）或正轴等角（割）圆柱投影

墨卡托（Mercator）投影即是圆柱投影的一种，又叫做正轴等角圆柱投影，是16世纪荷兰地图学家墨卡托所创造的，迄今还广泛应用于航海航空方面的重要投影之一。最重要原因是该投影具有等角航线被表示成直线的特性。　

几个参数

x = (a/mod)lgU

y=α·λ

α = r（在切圆柱中α=α赤）

m=n=α/r  m经线长度比=n纬线长度比  a=b<1 和a=b>1形状没有变化而大小发生了变化，这种投影叫正形投影（或等角投影）

P=m^2    面积比为经线长度比平方

w=0  最大角度变形为0

式中mod为对数的模，mod=1/ln10=0.434 294 48

用平面直角坐标或极坐标表示和地球表面上的点（用维度φ和经度λ表示）之间的函数关系

x=f1（φ，λ）

y=f2（φ，λ）

 

二、高斯-克吕格投影（横轴等角切椭圆柱投影）

假象用一个椭圆柱套在地球椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道面上

 

1949年中国成立后，就确定该投影为我国地形图系列中1:500 000,1:200 000,1:100 000,1:50 000,1:25 000,1:10 000及更大比例尺地形图的数学基础

三、UTM投影（Universal Transverse Mercator Projection通用横轴墨卡托投影）横轴等角割圆柱投影

与高斯-克吕格投影相比，差别很少，圆柱割地球于两条等高圈（对地球而言）上，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比小于1（μ=0.9996）