HDU 4405 Aeroplane chess（12年金华网络赛-F题-期望DP）

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题意：

有一排 n+1 个格子，编号 0~n ，有些格子可以坐飞机向前飞，飞到某个指定的格子。

然后从0出发，每次掷个骰子(1~6点)，然后走对应的步数，若走到有飞机的地方，则飞过去。否则，掷骰子。

问走到编号为n的格子或者走到它后面的关于掷骰子次数的期望是多少。

解题思路：

设 P[i] 表示到达格子 i 的概率，E[i] 表示到达格子 i 掷骰子次数的期望。

首先，对于到达格子 i 这一事件，只有两种可能：坐飞机过来的 or 掷骰子过来的。

若它是从格子 k 坐飞机过来的，则 P[i]1 = P[k]。

若它是从格子 k 掷骰子过来的，则 P[i]2 = P[k] * 1/6 ( i-6 <= k <= i-1)。

即 P[i] 等于上述两种情况的概率和。

设掷骰子次数为 t ，则 E[i] = sum{t * P[i] * p(i,t)}。（p(i,t) 表示到达格子 i 的条件下掷骰子次数为 t 的概率）

若它是从格子 k 坐飞机过来的，则 p(i,t) = p(k,t)   ，又 P[i]1 = P[k]，从而 E[i]1 = E[k]。

若它是从格子 k 掷骰子过来的，则 p(i,t) = p(k,t-1)，又 P[i]2 = P[k] * 1/6，

则 E[i] = 1/6 * sum{(t-1) * P[k] * p(k,t-1)} + 1/6 * P[k] * sum{ p(k,t-1) } ，从而E[i]2 = 1/6 * ( E[k] + P[k] )。

同理 E[i] 等于上述两种情况的期望和。

如此，便可从前向后递推求解。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define N 100010

const double p = 1.0/6;

struct TT
{
    double E,P;
    int next;
}a[N];

int main()
{
    int n,m,x,y;
    while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            a[x].next = y;
        }
        a[0].E = 0 , a[0].P = 1;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(a[i].next)
            {
                a[ a[i].next ].E += a[i].E;
                a[ a[i].next ].P += a[i].P;
            }
            else
                for(int j=1;j<=6;j++)
                {
                    a[i+j].E += p * (a[i].E + a[i].P);
                    a[i+j].P += p * a[i].P;
                }
        }
        double ans = 0;
        for(int i=0;i<=5;i++)
            ans += a[n+i].E;
        printf("%.4f\n",ans);
    }
    return 0;
}