程序员的数学--笔记

第一章

在10进制计数法中，位数少，但是数字种类多；对人类来说，比较易用。
在2进制计数法中，数字种类少，位数多；对计算机来说，比较易用。

N进制计数法：使用0,1,2,3，...，N-1，共N种；从右往左分别为N0的位，N1的位，N2的位...（基数是N）。

以上，使用按位计数。

罗马计数法：不使用按位计数。数位没有意义；只表示数字本身；没有0.
            使用I（1），V（5），X（10），L（50），C（100），D（500），M（1000）来计数；
            将并排的数字加起来，就是所表示的数。
    例如：3个并排的I（III）表示3， 并排的V和I（VI）表示6，VIII表示8.LXXVIII（78）。
    罗马计数法中还有“减法规则”。例如IV，在左侧写I表示4.

2、指数法则

   定义10的零次方：
           10的3次 = 1000
           10的2次 = 100  
       10的1次 = 10
       10的0次 = 1
     即：每当10的右上角数字（指数）减1，数就变为原来的十分之一。因此，10的0次方就是1.
   综上：在定义10的n次方（n包括0）的值时可以遵循以下规则：指数每减1，数字就变为原来的
   10分之1.对于负指数也一样。  

  指数法则：N的a次方 乘 N的b次方 = N的 a+b 次方， N不为0.

 思维方式：以简化规则为目标去定义值。    

3、0的作用
   站位；统一标准，简化规则

4、为甚么人类发明计数法？ 数越大就越难处理，计数法就是将大问题分解为小单元。

 思想：要解决大问题，就将它分解成多个小“单元”，如果小“单元”还是很大，那就继续分解成更小的
       ”单元“，直到问题最终解决。
 

第二章 逻辑

   学习逻辑的基本思路：兼顾完整性和排他性。（规则既不能遗漏也不能重复）
1、逻辑的重要性：逻辑是消除自然语言的歧义、严密准确地记述事物的工具。

   命题：能够判断对错的陈述句，叫命题。正确时 为真； 错误时 为假。命题要么真，要么假。
         同时满足true和false的不叫命题；同时既不为true，也不为false的也不叫命题。

  真值表， 文氏图（表示集合）


  A => B A蕴含B， 表示若在A中，必在B中。
  对偶性 ：
      即true <->  false
        A    <->  非A
        /\   <-> \/
     它们相互成对， 这称作逻辑表达式的对偶性。分别将true和false， A和非A，/\和\/
     互换，就能得到该逻辑表达式的否定式。

     德.摩根定律：  （非A） \/ (非B） = 非（A/\B)  (非A） /\ (非B） = 非（A\/B)

2、卡诺图 用来简化逻辑表达式、设计逻辑电路等。

3、包含未定义的逻辑
   程序经常会由于发生错误，导致退出、崩溃、陷入无限循环、抛出异常等情况，得不到
   true和false中的任何一个值。为了同样能表示这种”得不到值“的情况，又引入了一个
    叫undefined的值，意为”为定义”。
    true  真
    false 假
    undefined  未定义
   称为“三值逻辑”。

    未定义的逻辑的下面几种情况：
  1）带条件的逻辑与（&&）：
    A&&B , 通过真值表，得到结论：
    不包含undefined的行， 和逻辑与 A/\B相等；  
    A为true时，A&&B 和B 相等；
    A为false时， A&&B 恒为false；
    A为undefined时，A&&B恒为undefined。
  2）带条件的逻辑或（||）
     不包含undefined时，A||B和A\/B相等
     A为true时，A||B 恒为true；
    A为false时，A||B 和B相等；
    A为undefined时，A||B恒为undefined。
  3）三值逻辑中的否定（!）
     !A
     不包含undefined时， !A和非A相等
     A为true时，!A为false；
    A为false时， !A为true；
    A为undefined时，!A也为undefined。
 4、三值逻辑的德.摩根定律
    (!A)||(!B) = !(A&&B)
    (!A)&&(!B) = !(A||B)
  思想：复杂的规则-->通过逻辑表达式--->利用卡诺图--->简化的逻辑表达式--->简单的规则。

第三章 余数 --周期性和分组，奇偶性

1、余数的力量--将较大的数除一次就能分组

2、欧拉是图论的开山鼻祖。

3、顶点所关联的边数，称作顶点的度。度数为偶数的顶点称为“偶点”，度数为奇数的顶点称为“奇点”。

4、奇偶校验

5、欧拉论断：如果能够一笔画成，必须满足所有顶点都是偶点或者只有2个奇点。
   思维方法：观察各顶点的边数时，着眼点不在“数的本身”，而是“数的奇偶性”。

第四章 数学归纳法--征服无穷数列

数学归纳法是证明某断言对于0以上的所有整数（0,1,2,3...）都成立的方法。

1、编程与数学归纳法
   循环不变式：在编写循环时，找到让每次循环都成立的逻辑表达式很重要，这种逻辑表达式称为
               循环不变式。循环不变式相当于用数学归纳法证明的“断言”。


第五章 排列组合---解决计数问题的方法

计数时要注意“遗漏”和“重复”。

1、置换：将n个事物按顺序进行排列称为置换。

2、排列：从n个事物中取出k个进行排序。

3、组合：从n个事物中取出k个总共有多少种取法。不考虑顺序。
   可以这样考虑组合：首先和排列一样“考虑顺序”进行计数；
    除以重复计数的部分（重复度）。


第六章 递归

递归的思维方式：能将复杂的问题转换为较为简单的同类问题吗？如果满足递归结构，
                找出递归结构并建立递推公式。如果找不到解析式，只建立递推公式也
                非常有用。
为找出复杂问题中隐含的递归结构：
     从整体问题中隐去部分问题（相当于关注特定牌）；
     判断剩余部分是否和整体问题是同类问题。
或者说：
     从n层的整体问题中隐去部分问题。
     判断剩余部分是否是n-1层的问题。

组合：分组，一般用包含与不包含某个特定元素这种思维。

谢尔平斯三角形--递归图形
分形图：具有递归结构的图形。

第七章 指数爆炸--如何解决复杂问题

指数爆炸：数字不断翻倍。汉诺塔随圆盘数目增加，操作步骤呈指数增长；斐波那契数列也
          呈指数增长。

1、爆炸源在哪里？

   有倍数的地方，就有指数爆炸。

2、如果问题中含指数爆炸，就不能简单地采用“一个不漏”的方法解决。

3、对数--掌握指数爆炸的工具
   对数可将乘法转换为加法运算.

4、如何处理指数爆炸

   1）理解问题空间的大小
   2）四种方法处理指数爆炸问题
      极力求解；知道方法后极力求解；
      变相求解：转换成简单问题求解；
      近似求解：不求完全解答，而是找出近似解；
      概率求解：使用随机数的方法。

第八章  不可解问题---不可解的数、无法编写的程序

1、反证法：

2、可数：集合的元素是有限的，或者集合中的所有元素都与正整数一一对应，这时集合就被定义为可数。
         简而言之，能按顺序第1，第2，第3...来数元素的集合就是可数的。“可数”就是可以计数。
   有限集合石可数的；
   0以上的所有偶数的集合是可数的；
   所有整数的集合是可数的；
   所有有理数的集合是可数的；
   程序的集合是可数的；

   所有整数数列的集合是不可数的；
   所有实数的集合是不可数的；
   所有函数的集合也是不可数的；

3、不可解问题
    1）什么是不可解问题
       原则上不能用程序来解决的问题。
       存在不可解问题。
4、停机问题
    某程序在给定数据下，是否会在有限时间内结束运行。

第9章

1、何为解决问题
1）认清模式，进行抽象化
    在解答思考题时，经常先用“较小的数试算”，这有利于发现规律、性质、结构、循环、一致性等，
   认清隐含在问题中的模式。另外“对目前得到的结果进行抽象化”。通过抽象化，可以将结论运用到
   当前问题以外的其他问题中。
2）由不擅长催生出的智慧
   人类不擅长处理庞大的数字， 产生了计数法；
   人类不擅长毫无差错的进行复杂判断，产生了逻辑；
   人类不擅长处理大量事物，产生了分组；
   人类不擅长处理无穷，产生了通过有限步骤处理无穷。
2、幻想法则
   如果有“现实世界”解决不了的问题
   （1）将问题从“现实世界”带到“幻想世界”
   （2）然后在“幻想世界”解决问题
   （3）最后，将答案带回“现实世界”

3、程序员的数学
    在一般的编程中，程序员通常不需要掌握深奥的数学知识。不过，认清并简化问题结构，总结出具有
    一致性的规则等，对于程序员来说是家常便饭。
    不要觉得“不擅长数学”就漠然处之，而要想到“数学妙趣横生，要多加运用”，给每天的编程都注入
    数学的思维方式。