天平秤重问题
[前言]
JSOI（江苏省信息学奥林匹克）2008春季函授B组第一讲中，谈到砝码称重跟三进制对应的问题，参考程序用枚举的方法将1-121这121种称法列举出来：
用质量为1，3，9，27和81的五种砝码各1个（假如单位为克）称物体的质量，最大可称121，在实验室我们一般要求“物左砝右”。如果砝码允许放在天平的两边，编程输出称不同质量（1~121）物体时，砝码应该怎样安排？
例如要称一个m=14克的物体，我们知道14=27-9-3-1，即14+9+3+1=27。所以我们可以把天平一端放置该物和9、3、1的砝码，而另一端放27的砝码，这样即可称出。
[问题分析]
被称物体的质量计算的数学原理：设被称物体m放在天平左边，根据天平平衡原理，左边质量应等于右边质量。问题关键在于算法中如何体现砝码放在天平左边、右边或没有参加称量。这里可以用-1、1、0表示砝码放在天平左、右和没有参加称量，再没有其它数，所以称为三进制数，每个砝码都有这样的三种状态。被称物体质量计算为：ｍ = a*81 + b*27 + c*9 + d*3 + e。这里a，b，c，d，e分别表示81，27，9，3，1克的砝码是放在天平的左边、右边或是没用。
[参考程序]
Program ex3(input,output)；
var a,b,c,d,e,m:integer；
Begin
for m:=1 to 121 do
for a:= 0 to 1 do
for b:= -1 to 1 do
for c:= -1 to 1 do
for d:= -1 to 1 do
for e:= -1 to 1 do
if m = a*81+b*27+c*9+d*3+e then
begin
write(m,'=',a*81)；
if b<0 then write(b*27) else write('+',b*27)；
if c<0 then write(c*9) else write('+',c*9)；
if d<0 then write(d*3) else write('+',d*3)；
if e<0 then writeln(e) else writeln('+',e)；
end；
readln
End.
许多同学虽然看懂了此程序，却没有真正理解称法与三进制的对应关系，现将五六年我编写的中级讲义中有关内容整理出来，希望能让B组同学真正理解此算法。
[正文]
天平秤重问题
[问题描述]：
有一只天平和N只砝码，如何设计这N只砝码，才能使这天平能够连续秤出的重量最大？假设砝码的最小单位为1克，秤物时物品放在天平的左边，砝码可以放在右边也可以放在左边，不管放在哪一边只要天平能够平衡就行，物品的重量应是右边砝码总重量减去左边砝码的重量。
输入一个物品的重量，输出其秤重方案。
[分析与算法选择]：
这个问题是从一个经典的数学问题变化而来，这个数学问题的大意是：一个物体重40磅，掉在地上后摔成四片，这四片恰好能够作为砝码连续秤出40磅以内的物品的重量，这四片的重量如何？
（1）如何设计砝码？
我们先不去看单位，直接用数字来描述。因为要能连续秤出一范围内的值，所以首先要有1，从数学上可以知道，N只砝码本身最大能秤的总重就是这N只砝码的重量和，下面就看如何保证连续的数都能秤出了。设这N只砝码的重量分别为W1、W2……Wn，且有W1<=W2<=……<=Wn， W1=1，下面看W2如何设计。
如果W2=1，1、2都能秤出；如果W2=2，1、2、3都能秤出；如果W2=3，1可以秤出（W1）、2可以秤出（W2-W1）、3可以秤出（W2）、4也可以秤出（W1+W2）；如果W2=4，则2不能秤出；所以W2最大为3（=3*W1）。
同理可推出W3最大为9（=3*W2）；
……
Wn最大为3n-1（=3*Wn-1）。
设计方案为这N只砝码重分别为：1、3、9、27、……、3n-1。
（2）如何根据物品重量得到秤重方案？
物品（+砝码） 砝码
因为物品固定放在一连（如左边），只要考虑砝码放的情况。任一个砝码都可能有三种状态：一是跟被秤物品放在一起（如左边），二是不放，三是放在物品另一边（如右边）。最后物品的重量等于所有砝码乘上相应系数的和。这个系数可能是：-1、0、1。
先来看3只砝码时各种重量的称法，如下表所示，其中-1表示砝码放在物品一边、0表示砝码不放进天平、1表示砝码放在物品另一边，如果每一位加1后便只会是0、1、2这3个数字中的一个，所以可以方便地跟三进制数对应起来：
| 物品重量 |
3只砝码 |
每一位加1 |
|||
| 9 |
3 |
1 |
三进制数 |
十进制数 |
|
| 1 |
0 |
0 |
1 |
112 |
14(=1+13) |
| 2 |
0 |
1 |
-1 |
120 |
15(=2+13) |
| 3 |
0 |
1 |
0 |
121 |
16(=3+13) |
| 4 |
0 |
1 |
1 |
122 |
17(=4+13) |
| 5 |
1 |
-1 |
-1 |
200 |
18(=5+13) |
| 6 |
1 |
-1 |
0 |
201 |
19(=6+13) |
| 7 |
1 |
-1 |
1 |
202 |
20(=7+13) |
| 8 |
1 |
0 |
-1 |
210 |
21(=8+13) |
| 9 |
1 |
0 |
0 |
211 |
22(=9+13) |
| 10 |
1 |
0 |
1 |
212 |
23(=10+13) |
| 11 |
1 |
1 |
-1 |
220 |
24(=11+13) |
| 12 |
1 |
1 |
0 |
221 |
25(=12+13) |
| 13 |
1 |
1 |
1 |
222 |
26(=13+13) |
由上表我们可以总结出这样的计算方法：对于给定的物品重量，先确定它最多用到多大的砝码，假定是3n-1，那么先将这个物品的重量加上1、3、……3n-1，得到一个数，再对这个数进行除3取余运算，当余数为0时表示相应的砝码跟物品放在一起，余数为1时表示相应的砝码不放，为2时表示放在物品的另一边。
[程序清单]：
program example12_3;
const max=10;
var w:array[1..max] of integer;
i,n,m,weight:integer;
begin
writeln('Poise is 1,3,9,27,81.....');
write('Enter goods weight:');readln(weight);
m:=1; i:=1;
w[i]:=1; {至少要有为1的砝码}
while m<weight do {计算最大要多重的砝码w[I]及砝码总重量m}
begin i:=i+1;w[i]:=w[i-1]*3;m:=m+w[i];end;
n:=weight+m; i:=1;
write(weight,'=');
while n>0 do
begin
case n mod 3 of
0:write('-',w[i]); {为0时砝码跟物体放在一起，计算物体重量时为减}
2:write('+',w[i]); {为2时砝码单独放，计算物体重量时为加}
end;
n:=n div 3; i:=i+1;
end;
writeln;
end.
[运行示例]1：
Poise is 1,3,9,27,81.....
Enter goods weight:85
85=+1+3+81
[运行示例]2：
Poise is 1,3,9,27,81.....
Enter goods weight:86
86=-1-3+9+81
[运行示例]3：
Poise is 1,3,9,27,81.....
Enter goods weight:123
123=-3-9-27-81+243
[小结]：
对于有任意一检查对象都有多种可能的情况，且总数是固定的，如有N种（n>=2），不妨考虑使用N进制来进行处理，这样会使问题简化许多，一方面可以考虑全面，另一方面这种一一对应关系更加方便通过循环来控制使用数组。