pku1222（高斯消元1）

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1222

题意：有一个5*6的方阵，每个位置都表示按钮和灯，1表示亮，0表示灭。每当按下（i，j）时，（i，j）和（i-1，j）、（i+1，j）、

（i，j-1）（i，j+1）都会改变，亮的变灭，灭的变亮；问在这样的一个方阵中按下哪些按钮可以把整个方阵都变成灭的，这时1表示按了，

0表示没按。

此题也可以用枚举来写：http://iiacm.net/2010/07/pku-1222-extended-lights-out/

转载分析：这个游戏的名字叫做Lights Out。一个板子上面有MxN个按钮，按钮也是灯。每次按下一个按钮，这个按钮和它的上下左右相邻按钮将同时切换各自的亮灭状态。给你一个初始状态，请给出一种方法，按某些按钮，使得所有的灯都灭。 

这个游戏有一些技巧： 
1、按按钮的顺序可以随便。 
2、任何一个按钮都最多需要按下1次。因为按下第二次刚好抵消第一次，等于没有按。 

这个问题可以转化成数学问题。 
一个灯的布局可以看成一个0、1矩阵。以3x3为例： 
0 1 0 
1 1 0 
0 1 1 
表示一个布局。其中0表示灯灭，1表示灯亮。 
每次按下按钮（POJ1222）或者叫一个宿舍关灯（0998），可以看成在原矩阵上加（模2加，就是按位异或）上一个如下的矩阵： 
0 1 0 
1 1 1 
0 1 0 
上述矩阵中的1表示按下第2行第2列的按钮时，作用的范围。如果按左上角的按钮，就是： 
1 1 0 
1 0 0 
0 0 0 

我们记L为待求解的原始布局矩阵。A(i,j)表示按下第i行第j列的按钮时的作用范围矩阵。在上述例子中， 
L= 
0 1 0 
1 1 0 
0 1 1 

A(1,1)= 
1 1 0 
1 0 0 
0 0 0 

A(2,2)= 
0 1 0 
1 1 1 
0 1 0 

假设x(i,j)表示：想要使得L回到全灭状态，第i行第j列的按钮是否需要按下。0表示不按，1表示按下。那么，这个游戏就转化为如下方程的求解： 
L + x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = 0 

其中x(i,j)是未知数。方程右边的0表示零矩阵，表示全灭的状态。直观的理解就是：原来的L状态，经过了若干个A(i,j)的变换，最终变成0:全灭状态。 
由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成： 
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L 

这是一个矩阵方程。两个矩阵相等，充要条件是矩阵中每个元素都相等。将上述方程展开，便转化成了一个9元1次方程组： 

简单地记做：AA * XX = LL 

这个方程有唯一解： 
x(1,1) x(1,2) x(1,3) 
x(2,1) x(2,2) x(2,3) 
x(3,1) x(3,2) x(3,3) 
= 
1 1 1 
0 0 0 
0 0 1 

也就是说，按下第一行的3个按钮，和右下角的按钮，就

能使L状态变成全灭状态。  对于固定行列的阵列来说，AA矩阵也是确定的。是否存在解，解是否唯一，只与AA矩阵有关。对于唯一解的情形，只要将LL乘以AA的逆矩阵即可。具体求AA的逆矩阵的方法，可以用高斯消元法。  由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成： 将1式两边同时加上一个L矩阵就可以变成 x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L A（1，1）把矩阵 转化为一个列向量，L也转化为一个列向量， 将sigma xi*Ai=Li 对应位置的值相等就可以建立方程组了 X1*A(1,1)1+X2*A(1,2)1+X3*A(1,3)1+…………X30*A(30,30)1=L1;    mod 2 X1*A(1,1)2+X2*A(1,2)2+X3*A(1,3)2+…………X30*A(30,30)2=L2;    mod 2 X1*A(1,1)3+X2*A(1,2)3+X3*A(1,3)3+…………X30*A(30,30)3=L3    mod 2 ……. ……. ……. X1*A(1,1)30+X2*A(1,2)30+X3*A(1,3)30+…………X30*A(30,30)30=L30; mod 2 其中A(i,j)k 表示列向量A中第K个元素 这里的*表示点乘，Xi取(1,0) +表示模2加法，所以在高斯消元的时候可以用^异或运算 #include<iostream> using namespace std; int map[35][35]; int ans[35]; int Gauss() //高斯消元法 { int i, j, k, r; for(k=0; k<30; k++) { i = k; while(i<30 && map[i][k]==0) i++; if(i > k) { for(r=0; r<=30; r++) swap(map[i][r], map[k][r]); } for(i=0; i<30; i++) { if(i != k && map[i][k]) { for(j=0; j<=30; j++) map[i][j] ^= map[k][j]; //高斯消元的^异或运算； } } } /*for(i=0; i<30; i++) { for(j=0; j<30; j++) printf("%d",map[i][j]); printf("/n"); }*/ for(i=0; i<30; i++) //求出结果； if(map[i][30]) { for(j=0; j<30 && !map[i][j]; j++) ; if(j == 30) return 0; else ans[j] = map[i][30]; } return 1; } int main() { int i,j,k,kn,km,kx,ky,t; scanf("%d",&t); for(k=1; k<=t; k++) { memset(map, 0, sizeof(map)); for(i=0; i<30; i++) { scanf("%d", &map[i][30]); ans[i] = 0; } /*for(i=0; i<30; i++) //这个也是构造方程的，但是不知道为什么错了； { map[i][i] = 1; if(i % 6 != 1) map[i-1][i] = 1; if(i % 6 != 0) map[i+1][i] = 1; if(i >= 6) map[i-1][i] = 1; if(i <= 23) map[i+6][i] = 1; }*/ for(i=0; i<30; i++) //构造30个方程 { kn = i / 6; km = i % 6; for(j=0; j<30; j++) { kx = j / 6; ky = j % 6; if(abs(kx - kn) + abs(ky - km) <= 1) map[i][j] = 1; else map[i][j] = 0; } } /*for(i=0; i<30; i++) { for(j=0; j<30; j++){ printf("%d", map[i][j]);} printf("/n"); }*/ Gauss(); printf("PUZZLE #%d/n",k); for(i=0; i<30; i++) { printf("%d", ans[i]); if((i+1) % 6 == 0) printf("/n"); else printf(" "); } /// printf("/n"); } return 0; }  首先，我们可以把6*5个灯组成的矩阵看成是一个1*30的向量a 。     然后，对于每一个开关 i ，我们也构造一个1*30的向量d（i），一个开关最多控制5个灯，其中开关状态改变则为1，不改变就为0，这样我们可以把30个开关的向量组成一个30*30的矩阵。        我们在构造一个30*1的向量ans，也就是我们要求的结果，ans[ i ]为1，表示需要按下第 i个开关，0表示不需要。这样ans*d=a（mod 2），（d 是30*30 的矩阵）就转化为解方程的问题了。        至于解方程，就没什么可说的了，就是用线代里面讲的方法就可以了。因为这里要模2，所以可以我们可以直接用计算机的异或运算。