最大子数组和

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一个有N个元素的整型数组arr，有正有负，数组中连续一个或多个元素组成一个子数组，这个数组当然有很多子数组，求子数组之和的最大值。例如：[0，-2，3，5，-1，2]应返回9，[-9，-2，-3，-5，-3]应返回-2。

网上有称之为最大子序列和，亦有称连续子数组最大和。个人觉得叫最大子序列和不太妥，数学上讲，子序列不一定要求连续，而这里我们的题目必然要求是连续的，如果不连续而求子序列最大和很显然就无意义了，这也是为啥又称连续子数组最大和。不过，莫要在意细节。

鉴于《编程之美》对其有几个扩展问题，这里就练手一并实现了，不过整理过程中发现了《编程之美》中的解法错误。

/* DP ultimate version */
int Maxsum_ultimate(int * arr, int size)
{
    int maxSum = -INF;
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < size; ++i)
    {
        if(sum < 0)
        {
            sum = arr[i];
        }else
        {
            sum += arr[i];
        }
        if(sum > maxSum)
        {
            maxSum = sum;
        }
    }
    return maxSum;
}

这个也是2.14的扩展问题，如果数组arr[0],…,arr[n-1]首尾相邻，也就是允许找到一段数字arr[i],…,arr[n-1],arr[0],…,a[j]，使其和最大，该如何？

编程之美解法：这个问题的解可以分为两种情况：

1）   解没有跨越arr[n-1]到arr[0] （原问题）

2）  解跨越arr[n-1]到arr[0]

对于第二种情况，只要找到从arr[0]开始和最大的一段（arr[0],…,arr[j]）以及以arr[n-1]结尾的和最大的一段（arr[i],…,arr[n-1]）【Error 1】,那么第二种情况下和的最大值就为sum=arr[i]+…+arr[n-1]+arr[0]+…arr[j]。如果i<=j，则sum=arr[0]+…arr[n-1]，【Error 2】否则sum=arr[0]+…+arr[j]+arr[i]+…arr[n-1]。就是这两个地方，当时觉得有问题。

1）先说Error 1：这里分析的出发点就是错误的，因为“跨越边界的子数组最大和与它两端子数组和是否是最大无关”，前者并非后者的充分条件，这个没有直接的理论证明，举个例子，数组[1，-2，3，5，-1，2]最大子数组和为跨界子数组[1，|  3，5，-1，2]，但是[1]并非是以arr[0]开始的最大和；反过来，两端子数组和最大，这个涉及Error 2，如下

2）Error 2：反过来，两端子数组和最大（when i<=j），这个情况复杂多了，远远不是上面所说的那么简单sum= arr[0]+…arr[n-1]，例如数组[8，-10，60，3，-1，-6]，以arr[0]开始的最大子数组为[8，-10，60，3] ，以arr[n-1]为结尾的最大子数组为[60，3，-1，-6]，且i<=j，但是整体的最大子数组却不是arr[0]-arr[n-1]，而是跨界子数组[8 | 60，3，-1，-6]。

综上，这个问题不能这样思考，这也给我一个启发：一者看书要试着带有批判性的态度去看；二者别人说的不一定对，或许顺着他的思路觉得有道理，但一定要去亲自实现，实践见真知。

那么怎么做呢？

根据上面两个所举的测试用例，可以发现[1，-2，3，5，-1，2]中最大子数组去掉的是-2，而[8，-10，60，3，-1，-6]中最大子数组排除的是-10，这两个有什么特点？没错，这两个数都是两个数组中“最小”的，所以，类似的，像之前讲过的捞鱼问题，我们找最大子数组的对偶问题——最小子数组，有了最小子数组的值，总值减去它不就可以了么？但是我又想，这个对偶问题只能处理这种跨界的特殊情况吗？答案是肯定的，如果最大子数组跨界，那么剩余的中间那段和就一定是最小的，而且和必然是负的；相反，如果最大子数组不跨界，那么总值减去最小子数组的值就不一定是最大子数组和了，例如上面我们的例子[8，-10，60，3，-1，-6]，最大子数组为[8 | 60，3，-1，-6]，而最小子数组和为[-10]，显然不能用总值减去最小值。

故，在允许数组跨界（首尾相邻）时，最大子数组的和为下面的最大值

Maxsum={ 原问题的最大子数组和；数组所有元素总值-最小子数组和 }

/* 如数组首尾相邻 */
int Maxsum_endtoend(int * arr, int size)
{
    int maxSum_notadj = Maxsum_ultimate(arr,size); /* 不跨界的最大子数组和 */
    if(maxSum_notadj < 0)
    {
        return maxSum_notadj;                      /* 全是负数 */
    }
    int maxSum_adj = -INF;                         /* 跨界的最大子数组和 */
    int totalsum = 0;
    int minsum = INF;
    int tmpmin = 0;
    for(int i = 0; i < size; ++i)     /* 最小子数组和 道理跟最大是一样的 */
    {
        if(tmpmin > 0)
        {
            tmpmin = arr[i];
        }else
        {
            tmpmin += arr[i];
        }
        if(tmpmin < minsum)
        {
            minsum = tmpmin;
        }
        totalsum += arr[i];
    }
    maxSum_adj = totalsum - minsum;
    return maxSum_notadj > maxSum_adj ? maxSum_notadj : maxSum_adj;
}