01背包问题 及c++ 代码实现
今天在看july的博客之时，看到其中一道题目的原理为01背包问题，就自己温习了下，写下今天的学习体会。
本文理论分析参考博客：http://www.cnblogs.com/qinyg/archive/2012/04/26/2471829.html
问题描述：
给定N个物品和一个背包，其中物品i的重量是Wi，其价值为Vi ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？
（关于01背包问题的其他变种请参看
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98
http://love-oriented.com/pack/
）
对于此类01背包问题，我们可以使用动态规划分析解决：
问题分析：
在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。
令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:
(1) V(i,0)=V(0,j)=0
(2) V(i,j)=V(i-1,j) j<wi
(3) V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wi
(2)表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；
(3)表明：如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi;(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。
（注：一开始大家对第三个式子比较难以理解，我们可以从这么几点帮助理解：
1.这前i个中，并不是所有的i都被选择了，请大家看下面的代码会更加加深理解。
2.动态规划的概念，有最有子结构，重复子问题。V（i，j）其实是有记录作用的。
）
我们来看下代码实现：
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int maxNum(int a,int b)
{
return (a>b)?a:b;
}
void insight(int *exist,int **val,int *w,int bagnum,int weight)
{
for(int i=bagnum;i>0;i--)
{
if(val[i][weight]>val[i-1][weight])
{
exist[i]=1;
weight=weight-w[i];
}
}
for(int j=1;j<=bagnum;j++)
cout<<exist[j]<<" ";
}
int maxVal(int **val,int *v,int *w,int bagnum,int weight)
{
int i,j;
for(i=0;i<=bagnum;i++)
val[i][0]=0;
for(i=0;i<=weight;i++)
val[0][i]=0;
for(i=1;i<=bagnum;i++)
{
for(j=1;j<=weight;j++)
{
if(j<w[i])
val[i][j]=val[i-1][j];
else
val[i][j]=max(val[i-1][j],val[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
for(i=0;i<=bagnum;i++)
for(j=0;j<=weight;j++)
{
cout<<val[i][j]<<" ";
if(j==weight)
cout<<endl;
}
return val[bagnum][weight];
}
int main()
{
int bagnum,weight;
int i,j;
cout<<"please input the number of bags:"<<endl;
cin>>bagnum;
cout<<"please input the limit weight of bag:"<<endl;
cin>>weight;
int **val=new int *[bagnum+1]; //这样定义二维数组，是为了方便传入
val[0]=new int [(bagnum+1)*(weight+1)];
for(i=1;i<=bagnum;i++)
val[i]=val[i-1]+weight+1;
cout<<"please input the weight of every bag:"<<endl;
int *w=new int[bagnum+1]();
for(i=1;i<=bagnum;i++)
cin>>w[i];
//cout<<"w=";
//for(i=0;i<=bagnum;i++)
// cout<<w[i]<<" ";
//cout<<endl;
cout<<"please input the value of every bag:"<<endl;
int *v=new int[bagnum+1]();
for(i=1;i<=bagnum;i++)
cin>>v[i];
//cout<<"v=";
//for(i=0;i<=bagnum;i++)
// cout<<v[i]<<" ";
//cout<<endl;
cout<<maxVal(val,v,w,bagnum,weight)<<endl;
int *exist=new int[bagnum](); //为了查看我们选择了哪些包
cout<<"we get the bag num is:";
insight(exist,val,w,bagnum,weight);
cout<<endl;
// int **val=(int **)malloc((bagnum+1)*sizeof(int *));
// for(i=0;i<bagnum+1;i++)
// val[i]=(int *)malloc((weight+1)*sizeof(int));
//
return 0;
}
看完此处之后，我们在来看下july大神写的关于
请看http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6419466
第二节、寻找和为定值的多个数
第21题（数组）
2010年中兴面试题
编程求解：
输入两个整数 n 和 m，从数列1，2，3.......n 中 随意取几个数,
使其和等于 m ,要求将其中所有的可能组合列出来
并附上我的代码，较原文给出的会更加容易理解一点
#include<iostream>
#include<list>
using namespace std;
list<int> lis;
//这边我们将list用作了栈，当然也可以用stack容器，不过stack其实是一种容器适配器，其默认实现方式是用list实现的
void findNSum(int sum,int n)
{
if(sum<=0||n<=0) //递归退出条件
return;
if(sum==n) //打印条件
{
for(list<int>::iterator iter=lis.begin();iter!=lis.end();iter++)
cout<<*iter<<"+";
cout<<n<<endl; //这是由于，此时的n并没有被压在原队列中
}
lis.push_back(n); //将n压入list中
findNSum(sum-n,n-1); //n装入以后，刚好等于sum
lis.pop_back(); //将刚才压入list中的数据弹出
findNSum(sum,n-1); //没有选择n，说明前面n-1个数已经就可以满足条件
}
int main()
{
int sum,n;
cout<<"please input the sum:"<<endl;
cin>>sum;
cout<<"please input the n:"<<endl;
cin>>n;
findNSum(sum,n);
return 0;
}