Stress与Strain+Tensor

当材料发生形变时，内部会产生复原力，如何在数学上描述这种状况是一个有用的话题。

 

 

Stress

 

在胡克定律中使用了Stress概念，现在对Stress的定义进一步解释。Stress为单位面积上承受的作用力，它的单位与压强一样是帕斯卡。

 

相应的力可以通过对Stress在面积S上积分得到。

 

在三维空间中，物体的内部任意切一个小方块，就有三组互相垂直的面，每个面上分别有三个互相垂直的应力：Sigma_11, Sigma_12, Sigma_13, Sigma_21, Sigma_22, Sigma_23, Sigma_31, Sigma_32, Sigma_33。其中Sigma_11, Sigma_22和Sigma_33是垂直相应面的。

 

 

Strain Tensor

 

有许多Strain Tensor理论，最接近连续情况的是infinitesimal strain tensor或Cauchy's strain tensor。在这种情况下，物体的变形必须相当于本身来说必须非常小。

 

 

数学模型

 

设A为原始状态的材料，B为变化后的材料。A中有一个位置记为X，m维。B中位置x，n维。已知原有位置X：

 

x = phi (t, X)

phi是X的函数

delta_x = phi(t, X + delta_X) – phi(t, X)

         = p( phi(t, X) ) / p(X) * delta_X

把p( phi(t, X) ) / p(X) 记为 F( n * m 矩阵)，F是phi的函数

F = p( phi(t, X) ) / p(X)

delta_x = F * delta_X

 

delta_x就是要求的B中的形变。如果直接使用这个量会产生问题，因为它不是一个不变量(invariance)。如果材料发生了旋转和平移，我们希望这个量能够保持一致性，所以使用：

 

(delta_x)^T * delta_x = (F * delta_X)^T * F * delta_X

                             = (delta_X)^T * ( F^T * F ) * delta_X

 

关键在( F^T * F )这个m*m矩阵上。如果它等于单位矩阵，那就等于没有变形。

 

定义Strain C:

C是F的函数。

C = ( F^T * F ) – I。

对于C = ( F^T * F ) – I分析可知它是一个对称矩阵，其对角项等于Stretch force，非对角项是Shearing force。

 

定义Stress S:

S 为C的函数。dA 为面积改变量，_n为面积法向量。

S = f(C) * dA * _n = E(C)

 

Transform Matrix

p(E(C)) / p(C) = p(f(C)) / p(C) * S

p(f(C)) / p(C) = WX + b

 

p(x) / p(X) = W。矩阵W也叫Transform Matrix。其实它也就是F。

 

例

 

三维坐标x (in R3)下的一块材质, 设其二维对应的平面为X=(u, v)。

 

有一个二维到三维的映射phi使得

x = phi(X)

由上面分析，我们关心F, 也就是phi在X上的导数。

定义：

PhiU是在u方向的偏导数；

PhiV是在v方向的偏导数。

考虑其中任一个三角形(i, j, k),

delta_x1 = xj – xi

delta_x2 = xk – xi

 

delta_u1 = uj – ui

delta_u2 = uk – ui

delta_v1 = vj – vi

delta_v2 = vk – vi

 

delta_x1, delta_x2是3X1矩阵。

delta_u1，delta_u2，delta_v1，delta_v2是标量。

 

delta_x1 = PhiU * delta_u1 + PhiV * delta_v1

delta_x2 = PhiU * delta_u2 + PhiV * delta_v2

即

| delta_x1 | ^T = | PhiU | ^ T * | delta_u1 delta_u2 |

| delta_x2 |     | PhiV |     | delta_v1 delta_v2 | 

及

| delta_x1 | ^ T * | delta_u1 delta_u2 | ^ (-1)* = | PhiU | ^ T

| delta_x2 |     | delta_v1 delta_v2 |        | PhiV |

 

PhiU, PhiV是3X1矩阵。

 

F  = | PhiU | ^ T

       | PhiV |

F是3X2矩阵. 到这里，F就完全用delta的量推导了。

在一些研究中，把Stretch 和shearing分别表示为不同的方程。就本例而言

 C = ( F^T * F ) – I

中C是个2乘2矩阵，对角线上为两个Stretch 方程：

a * ( PhiU^T * PhiU - 1 ) = a ( || PhiU || - 1 ) = 0 （1）

a * ( PhiV^T * PhiV - 1 ) = a ( || PhiV || - 1 ) = 0  （2）

非对角线上为Shearing方程：

a * PhiU^T * PhiV = 0 （3）

a是一个预设的系数。保证方程(1)(2)(3)成立就可以模拟材料的形变了。

 

使用Stress/Strain可以十分逼近地模拟材料形变。至少强于使用弹簧系统的有限元法。嗯。