卷积及拉普拉斯变换的通俗解释-转

卷积(convolution, 另一个通用名称是德文的Faltung)的名称由来，是在于当初定义它时，定义成 integ(f1(v)*f2(t-v))dv，积分区间在0到t之间。举个简单的例子，大家可以看到，为什么叫“卷积”了。比方说在(0，100)间积分，用简单的辛普生积分公式，积分区间分成100等分，那么看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2 (98)相乘，......... 等等等等，就象是在坐标轴上回卷一样。所以人们就叫它“回卷积分”，或者“卷积”了。 为了理解“卷积”的物理意义，不妨将那个问题“相当于它的时域的信号与系统的单位脉冲响应的卷积”略作变化。这个变化纯粹是为了方便表达和理解，不影响任何其它方面。将这个问题表述成这样一个问题：一个信号通过一个系统，系统的响应是频率响应或波谱响应，且看如何理解卷积的物理意义。 假设信号函数为f, 响应函数为g。f不仅是时间的函数(信号时有时无)，还是频率的函数(就算在某一固定时刻，还有的地方大有的地方小)；g也是时间的函数(有时候有反应， 有时候没反应)，同时也是频率的函数(不同的波长其响应程度不一样)。那我们要看某一时刻 t 的响应信号，该怎么办呢？ 这就需要卷积了。 要看某一时刻 t 的响应信号，自然是看下面两点： 1。你信号来的时候正赶上人家“系统”的响应时间段吗？ 2。就算赶上系统响应时间段，响应有多少？ 响应不响应主要是看 f 和 g 两个函数有没有交叠；响应强度的大小不仅取决于所给的信号的强弱，还取决于在某频率处对单位强度响应率。响应强度是信号强弱和对单位强度信号响应率的乘积。“交叠”体现在f(t1)和g(t-t1)上，g之所以是“(t-t1)”就是看两个函数错开多少。 由于 f 和 g 两个函数都有一定的带宽分布(假若不用开头提到的“表述变化”就是都有一定的时间带宽分布)，这个信号响应是在一定“范围”内广泛响应的。算总的响应信号，当然要把所有可能的响应加起来，实际上就是对所有可能t1积分了。积分范围虽然一般在负无穷到正无穷之间；但在没有信号或者没有响应的地方，积也是白积，结果是0，所以往往积分范围可以缩减。 这就是卷积及其物理意义啊。并成一句话来说，就是看一个时有时无(当然作为特例也可以永恒存在)的信号，跟一个响应函数在某一时刻有多大交叠。 *********拉普拉斯********* 拉普拉斯(1729-1827) 是法国数学家，天文学家，物理学家。他提出拉普拉斯变换(Laplace Transform) 的目的是想要解决他当时研究的牛顿引力场和太阳系的问题中涉及的积分微分方程。 拉普拉斯变换其实是一个数学上的简便算法；想要了解其“物理”意义 --- 如果有的话 --- 请看我举这样一个例子： 问题：请计算十万乘以一千万。 对于没学过指数的人，就只会直接相乘；对于学过指数的人，知道不过是把乘数和被乘数表达成指数形式后，两个指数相加就行了；如果要问究竟是多少，把指数转回来就是。 “拉普拉斯变换” 就相当于上述例子中把数转换成“指数” 的过程；进行了拉普拉斯变换之后，复杂的微分方程(对应于上例中“复杂”的乘法) 就变成了简单的代数方程，就象上例中“复杂”的乘法变成了简单的加减法。再把简单的代数方程的解反变换回去(就象把指数重新转换会一般的数一样)，就解决了原来那个复杂的微分方程。 所以要说拉普拉斯变换真有“ 物理意义”的话，其物理意义就相当于人们把一般的有理数用指数形式表达一样。 另外说两句题外话: 1。拉普拉斯变换之所以现在在电路中广泛应有，根本原因是电路中也广泛涉及了微分方程。 2。拉普拉斯变换与Z变换当然有紧密联系；其本质区别在于拉氏变换处理的是时间上连续的问题，Z变换处理的是时间上分立的问题。