FFT算法
FFT算法
分类： 信号处理
2008-04-19 21:03
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这几天，我一直在看FFT算法，下面分享一下我这几天学到的东西
1。直接计算离散傅立叶变换具有n^2的复杂度，而cooley 和tukey在1965年发现了一种计算离散傅立叶变换的快速算法(即通
常所说的FFT算法)，这个算法在计算变换长度n=2^k的离散傅立叶变换时，具有 n*k 的复杂度，即O(n)=n*log2(n), 下面以此
为例，讲讲快FFT的特点。
1)复数运算：傅立叶变换是基于复数的，因此首先知道复数的运算规则，在FFT算法中，只涉及复数的加、减和乘法三种运
算。一个复数可表示为 c=( x,yi), x 为复数的实部，y为复数的虚部，i为虚数单位，等于-1的平方根。复数的运算规则是:
若c1 表示为 (x1,y1),c2 表示为(x2,y2), 则 (x1+x2,y1+y2)和(x1-x2,y1-y2)分别等于c1+c2的和，c1-c2的差，复数的乘法
相对复杂一些，c1*c2 的积为 (x1*x2-y1*y2,x1*y2+x2*y1).
2)蝶形变换：普通的FFT算法称为基2的FFT算法，这种算法的核心是蝶形变换 长度为n=2^k1的变换共需要做 k1 * n/2 次
蝶形变换，若需变换数据表示为一个复数数组c[],则每次蝶形变换有2个输入 c[i],c[i+s],两个输出:c[i],c[i+s]，s成为翅
间距。 每个变换的基本算法是：
t=wr * c[i+s];
c[i+s]=c[i]-t;
c[i]=c[i]+t;
前面说过，长度为n=2^k1的变换共需要做 k1 *
n/2次变换，实际的程序是一个3层循环,共需要k1*k2*(k3/2)次变换(k2*k3/2=n/2)。前面的wr是w的整数次方，w=e^(-2*PI/k3
) (k3=2,4,8,16...n,PI是圆周率)，也成为旋转因子，例如n=32的变换需要log2(32)=5趟变换:
第1趟变换需要16*1次变换，翅间距是1, 若w=e^(-2*PI/2)， 则wr=w^1
第2趟变换需要8*2次变换， 翅间距是2, 若w=e^(-2*PI/4)， 则wr=w^1,w^2
第3趟变换需要4*2次变换， 翅间距是4, 若w=e^(-2*PI/8)， 则wr=w^1,w^2,w^3,w^4
第4趟变换需要2*8次变换， 翅间距是8, 若w=e^(-2*PI/16)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,w^7,w^8
第5趟变换需要16*1次变换，翅间距是16, 若w=e^(-2*PI/32)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5...w^15,w^16
3)w数组，w 的实部=cos(2*PI/k3),w的虚部= -sin(2*PI/k3),计算出w,则wr数组就好求了，不断即相乘即可，当然也可以通
过三角函数直接求。w^p 的实部=cos(2*PI/K3*p),虚部=-sin(2*PI/k3*p)
4)复数数组排序，在基2的蝶形变换中，复数数组需要重新排序，c[i] 要放置到数组c的第 reverse(c[i])
的位置，m=reverse(n) 函数的算法是这样的，若 n的 k位2进制的为b[], b[k-1],B[k-2],...b[2],b[1],b[0],( b[i] 等于1
或者0,b[0]为最低bit). 则m=reverse(n)的2进制的为 b[0],b[1],b[2],b[3],...b[k-1] (b[k-1]为最低bit).
更复杂的变换算法：基2的蝶形变换算法不止一种，它可分为2类，一类为基2时分傅立叶变换，另一类为基2频分傅立叶变
换。上例的变为基2时分算法，在每一趟变换中，翅间距依次变大，第一趟为2，最后一趟为n/2,数组重排在变换之前进行，基
2频分算法正好相反，翅间距依次缩小，起于n/2，止于2，数组重排在蝶形变换之后进行。 在＜傅立叶变换＞一书中，提到3
种基2时分变换，3种基2频分变换。上述算法称为基2时分FFT第二种算法。我在看你的这个程序的同时，还看到朱志刚写的一
个FFT程序，这个程序的算法是基2时分FFT第一种算法，它比经典的算法更复杂，需要对wr数组进行逆序排列。
///这个程序不太直观的地方。
在计算wp是，虚部使用sin函数直接计算，但是实部没有直接计算，按照数学公式cos(x)=1-2*sin(x/2)^2,这里，wpr只取-2*s
in(x/2),比实际值小1,故在计算w时，采用以下算式:
wr = wr * wpr - wi * wpi + wr;
wi = wi * wpr + wtemp * wpi + wi;
wr*wpr-wi*wpi+wr --> wr*(1+wpr)-wi*wpi,可以看到这里将1重新补上了。
//更复杂的FFT算法，除了基2 的FFT算法外，还有更加复杂的基4算法，基8算法，甚至基3,基5算法，纯粹的基4算法只能计算
长度为4^k的变换，但它比基2的算法速度更高。为了提高速度，很多FFT算法使用混合基算法。如我看到的2个效率很高程序均
使用了混合基算法。第一个程序是来自：http://momonga.t.u-tokyo.ac.jp/~ooura/fft.html，它使用了基2，基4,甚至基8混
合算法，共提供了6同样功能的算法。可对长度为2^k的序列做FFT，这个程序的写的很复杂，我现在尚不能完全看懂。另一个
程序来自：http://hjem.get2net.dk/jjn/fft.htm。相对于前者，这个程序相对简单一点。它使用了基2，基3,基4,基5,基8,
基10 混合算法，几乎可以计算任意长度的FFT。具体的，当序列长度n为2，3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37等小素数时，或
者n的最大素因数小于等于37时，可计算这个序列的FFT。
关于FFT算法的其它文档：http://www.jjj.de/fxt/fxtbook.pdf, websuite: http://www.jjj.de/fxt/, 这是我见过的关于变换算法的最全面的文档。
1。直接计算离散傅立叶变换具有n^2的复杂度，而cooley 和tukey在1965年发现了一种计算离散傅立叶变换的快速算法(即通
常所说的FFT算法)，这个算法在计算变换长度n=2^k的离散傅立叶变换时，具有 n*k 的复杂度，即O(n)=n*log2(n), 下面以此
为例，讲讲快FFT的特点。
1)复数运算：傅立叶变换是基于复数的，因此首先知道复数的运算规则，在FFT算法中，只涉及复数的加、减和乘法三种运
算。一个复数可表示为 c=( x,yi), x 为复数的实部，y为复数的虚部，i为虚数单位，等于-1的平方根。复数的运算规则是:
若c1 表示为 (x1,y1),c2 表示为(x2,y2), 则 (x1+x2,y1+y2)和(x1-x2,y1-y2)分别等于c1+c2的和，c1-c2的差，复数的乘法
相对复杂一些，c1*c2 的积为 (x1*x2-y1*y2,x1*y2+x2*y1).
2)蝶形变换：普通的FFT算法称为基2的FFT算法，这种算法的核心是蝶形变换 长度为n=2^k1的变换共需要做 k1 * n/2 次
蝶形变换，若需变换数据表示为一个复数数组c[],则每次蝶形变换有2个输入 c[i],c[i+s],两个输出:c[i],c[i+s]，s成为翅
间距。 每个变换的基本算法是：
t=wr * c[i+s];
c[i+s]=c[i]-t;
c[i]=c[i]+t;
前面说过，长度为n=2^k1的变换共需要做 k1 *
n/2次变换，实际的程序是一个3层循环,共需要k1*k2*(k3/2)次变换(k2*k3/2=n/2)。前面的wr是w的整数次方，w=e^(-2*PI/k3
) (k3=2,4,8,16...n,PI是圆周率)，也成为旋转因子，例如n=32的变换需要log2(32)=5趟变换:
第1趟变换需要16*1次变换，翅间距是1, 若w=e^(-2*PI/2)， 则wr=w^1
第2趟变换需要8*2次变换， 翅间距是2, 若w=e^(-2*PI/4)， 则wr=w^1,w^2
第3趟变换需要4*2次变换， 翅间距是4, 若w=e^(-2*PI/8)， 则wr=w^1,w^2,w^3,w^4
第4趟变换需要2*8次变换， 翅间距是8, 若w=e^(-2*PI/16)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,w^7,w^8
第5趟变换需要16*1次变换，翅间距是16, 若w=e^(-2*PI/32)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5...w^15,w^16
3)w数组，w 的实部=cos(2*PI/k3),w的虚部= -sin(2*PI/k3),计算出w,则wr数组就好求了，不断即相乘即可，当然也可以通
过三角函数直接求。w^p 的实部=cos(2*PI/K3*p),虚部=-sin(2*PI/k3*p)
4)复数数组排序，在基2的蝶形变换中，复数数组需要重新排序，c[i] 要放置到数组c的第 reverse(c[i])
的位置，m=reverse(n) 函数的算法是这样的，若 n的 k位2进制的为b[], b[k-1],B[k-2],...b[2],b[1],b[0],( b[i] 等于1
或者0,b[0]为最低bit). 则m=reverse(n)的2进制的为 b[0],b[1],b[2],b[3],...b[k-1] (b[k-1]为最低bit).
更复杂的变换算法：基2的蝶形变换算法不止一种，它可分为2类，一类为基2时分傅立叶变换，另一类为基2频分傅立叶变
换。上例的变为基2时分算法，在每一趟变换中，翅间距依次变大，第一趟为2，最后一趟为n/2,数组重排在变换之前进行，基
2频分算法正好相反，翅间距依次缩小，起于n/2，止于2，数组重排在蝶形变换之后进行。 在＜傅立叶变换＞一书中，提到3
种基2时分变换，3种基2频分变换。上述算法称为基2时分FFT第二种算法。我在看你的这个程序的同时，还看到朱志刚写的一
个FFT程序，这个程序的算法是基2时分FFT第一种算法，它比经典的算法更复杂，需要对wr数组进行逆序排列。
///这个程序不太直观的地方。
在计算wp是，虚部使用sin函数直接计算，但是实部没有直接计算，按照数学公式cos(x)=1-2*sin(x/2)^2,这里，wpr只取-2*s
in(x/2),比实际值小1,故在计算w时，采用以下算式:
wr = wr * wpr - wi * wpi + wr;
wi = wi * wpr + wtemp * wpi + wi;
wr*wpr-wi*wpi+wr --> wr*(1+wpr)-wi*wpi,可以看到这里将1重新补上了。
//更复杂的FFT算法，除了基2 的FFT算法外，还有更加复杂的基4算法，基8算法，甚至基3,基5算法，纯粹的基4算法只能计算
长度为4^k的变换，但它比基2的算法速度更高。为了提高速度，很多FFT算法使用混合基算法。如我看到的2个效率很高程序均
使用了混合基算法。第一个程序是来自：http://momonga.t.u-tokyo.ac.jp/~ooura/fft.html，它使用了基2，基4,甚至基8混
合算法，共提供了6同样功能的算法。可对长度为2^k的序列做FFT，这个程序的写的很复杂，我现在尚不能完全看懂。另一个
程序来自：http://hjem.get2net.dk/jjn/fft.htm。相对于前者，这个程序相对简单一点。它使用了基2，基3,基4,基5,基8,
基10 混合算法，几乎可以计算任意长度的FFT。具体的，当序列长度n为2，3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37等小素数时，或
者n的最大素因数小于等于37时，可计算这个序列的FFT。
关于FFT算法的其它文档：http://www.jjj.de/fxt/fxtbook.pdf, websuite: http://www.jjj.de/fxt/, 这是我见过的关于变换算法的最全面的文档。