线性代数(三十九) ：格拉姆-施密特正交化与标准正交基

本节介绍正交的概念，以及将基变为正交基的格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法

1 正交

如果向量x,y满足:

则称x与y正交(orthogonal)或者垂直(perpendicular),记做：

2 标准正交基

设X是具有欧几里得结构的有限维线性空间

是X的一组基,如果他们满足：

则称这组基是标准正交的(orthonormal)

3 格拉姆-施密特方法

具有欧几里得结构的有限维线性空间下的任意一组基：

则存在一组对应的基:

满足：

证明：

利用递归的方法证明，假设已经构造：

令：

 

因为：

是标准正交基，容易验证若令：

则:

最后可选取c使得：

4 示例

求基底向量组：

 

的正交基以及标准正交基

 

这样就得到了空间：

 

的一组正交基：

 

以及对应的标准正交基：