线性代数(三十九) :格拉姆-施密特正交化与标准正交基

本节介绍正交的概念,以及将基变为正交基的格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法

1 正交

如果向量x,y满足:


则称x与y正交(orthogonal)或者垂直(perpendicular),记做:


2 标准正交基

设X是具有欧几里得结构的有限维线性空间

是X的一组基,如果他们满足:


则称这组基是标准正交的(orthonormal)

3 格拉姆-施密特方法

具有欧几里得结构的有限维线性空间下的任意一组基:


则存在一组对应的基:


满足:


证明:

利用递归的方法证明,假设已经构造:


令:


 

因为:


是标准正交基,容易验证若令:


则:


最后可选取c使得:


4 示例

求基底向量组:

 

的正交基以及标准正交基

线性代数(三十九) :格拉姆-施密特正交化与标准正交基_第1张图片
 

这样就得到了空间:


 

的一组正交基:


 

以及对应的标准正交基:





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