hdu 2067小兔的棋盘

卡特兰数的公式

1.

递推公式

有关卡特兰的知识：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0 维基百科

http://baike.baidu.com/link?url=7wWLQt4fg4sKbFTISW2Y3A9e4PveC7nB9jfCFGoo5LUCmflYQFUD8g81-x6gG52zKv5Ltk4eRCv3k_i0xekvQq  百度百科

 

 其中在维基百科的证明过程中，我有个地方不明白

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而。证毕。

不满足要求的数目是如何得到的 ，求大神指点

 

该题代码

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<limits.h>
using namespace std;
int main()
{
	__int64 catalan[40];
	memset(catalan,0,sizeof(catalan));
	catalan[0]= catalan[1]= 1;
	for(int i=2; i<= 35; i++)
	{
		for(int j=0; j< i; j++)
			catalan[i]+=catalan[j]*catalan[i-j-1];
	}
	int n;
	int T= 0;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=-1)
	{
		T++;
		printf("%d %d %I64d\n",T,n,2*catalan[n]);
	}
	return 0;
}