概率算法 -- 从集合中选取N个不重复的元素

      这个问题见了很多，一般表述是，1到n的整数中随机选k个这k个不能重复。变一下即可以是n个元素选k个，不能重复。

 

    有不同复杂度的算法。第一个是笨办法：

（1）随机选一个数，然后判断这个数字是否已经被选过了（是否重复），不过不重复，那就就选他了，如果重复，就再随机选一个。

空间复杂度：O(1)

时间复杂度：O(k^2)

而且有一个问题，如果是100个选90个，那么最后冲突的概率很大，选一个数字要重复随机好多次才行。效率低。不要。

如果用hash来解决判重的问题：

空间：O(n)

时间：O(k)

 

（2）第二种是第一种的改进。先在1到n-k+1中随机选一个，然后把范围扩大到n-k+2，再随机选一个，如果随机选中的是之前已经选过的，那么就选择第n-k+2个元素。

比如：从1-8中选4个数字。

第一步.从1到5中随机选一个，比如选了2.

第二步。从1到6中随机选一个。如果选出的是i=1,3,4,5,6，那么就选i即可。如果选出的是2，这个时候就重复了，此时的处理方式是选择i=6。

第三步，从1到7中随机选一个数，如果跟之前的重复，那么就选那种7.

第四步从1到8中随机选一个数，如个之前的重复，就选8。

 

空间复杂度：O(1)

时间复杂度：O(k^2)

这种方法确保每次都能产生随机数。避免了第一种方法的问题。

方法1和方法2都可以用hash来解决判重时的消耗。

此时方法2的复杂度为：

空间：O(n)

时间：O(k)

 

（3）方法3是经典的交换法。

产生第一个随机元数，将其交换到数组的第一个位置a[0]。这样，只要在a[1]和a[n-1]中随机选泽，即可以确保不重复了。

所以，再在a[1]到a[n-1]中产生一个随机数，交换到a[1]位置，。。。。

空间：O(n)

时间：O(k)

 

（4）因为是从n个中产生k个，所以每个元素选中的概率是k/n。

所以，对于a[0]，以k/n的概率选泽他。如果选中了，那么对剩下的数组来说，就是在n-1个元素中选k-1个元素的问题；如果没选中，那么

对剩下的数组来说，就是在n-1个元素中选k个元素的问题。迭代即可。

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)

这个算法不一定要遍历到最后才结束，如果已经选够了n个数，就可以结束了。

 

（5）先选中前k个元素，然后开始遍历剩下的元素，如第k+1个元素来的时候，以k/(1+k)的概率去替换之前k个元素中的一个。至于替换哪一个，就是均匀的选了。

对于新来的这个元素，被选中的概率是：k/(k+1) （替换）

对于之前的元素，被选中的概率是：(1-k/(k+1))+k/(k+1） * (k-1)/k   = 1/(k+1) + (k-1)/(k+1)= k/(+1)   （不替换+替换但没被选中替换出去）

第k+2个元素来的时候，以k/(k+2)的概率去替换之前k个元素中的一个。

 

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)

这种方法还适合在总数量未知的情况下使用。

 

O（n）的算法未必比O(k^2)的算法好，注意n和k的区别。比如在全体4字节长的整数中随机选3个不重复的，就不要用（4）和（5）了。