算法题----经典数学问题

一  题目：寻找丑数

       我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。

分析：这是一道在网络上广为流传的面试题，据说google曾经采用过这道题。

所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是n % m == 0。根据丑数的定义，丑数只能被2、3和5整除。也就是说如果一个数如果它能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就除以连续5。如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。

基于前面的分析，我们可以写出如下的函数来判断一个数是不是丑数：

bool IsUgly(int number)

{

    while(number % 2 == 0)

        number /= 2;

    while(number % 3 == 0)

        number /= 3;

    while(number % 5 == 0)

        number /= 5;

    return (number == 1) ? true : false;

}

接下来，我们只需要按顺序判断每一个整数是不是丑数，即：

int GetUglyNumber_Solution1(int index)

{

    if(index <= 0)

       return 0;

    int number = 0;

    int uglyFound = 0;

    while(uglyFound < index)

    {

        ++number;

       if(IsUgly(number))

        {

            ++uglyFound;

        }

    }

    return number;

}

我们只需要在函数GetUglyNumber_Solution1中传入参数1500，就能得到第1500个丑数。该算法非常直观，代码也非常简洁，但最大的问题我们每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高。

接下来我们换一种思路来分析这个问题，试图只计算丑数，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。

这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M₂。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M₃和M₅。那么下一个丑数应该是M₂、M₃和M₅三个数的最小者。

前面我们分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5，事实上是不需要的，因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T₂，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T₂。对乘以3和5而言，存在着同样的T₃和T₅。

有了这些分析，我们不难写出如下的代码：

int GetUglyNumber_Solution2(int index)

{

    if(index <= 0)

       return 0;

    int *pUglyNumbers = new int[index];

    pUglyNumbers[0] = 1;

    int nextUglyIndex = 1;

    int *pMultiply2 = pUglyNumbers;

    int *pMultiply3 = pUglyNumbers;

    int *pMultiply5 = pUglyNumbers;

    while(nextUglyIndex < index)

    {

       int min = Min(*pMultiply2 * 2, *pMultiply3 * 3, *pMultiply5 * 5);

        pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min;

       while(*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])

            ++pMultiply2;

       while(*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])

            ++pMultiply3;

       while(*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])

            ++pMultiply5;

        ++nextUglyIndex;

    }

    int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1];

    delete[] pUglyNumbers;

    return ugly;

}

int Min(int number1,int number2,int number3)

{

    int min = (number1 < number2) ? number1 : number2;

    min = (min < number3) ? min : number3;

    return min;

}

和第一种思路相比，这种算法不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间复杂度要低很多。感兴趣的读者可以分别统计两个函数GetUglyNumber_Solution1(1500)和GetUglyNumber_Solution2(1500)的运行时间。当然我们也要指出，第二种算法由于要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而需要额外的内存。第一种算法是没有这样的内存开销的。

二题目： 素数判定方法---总结篇

三   找出两个已经排好序的数组的中位数

                中位数 的概念：

                 首先要将数按照从大到小或者从小到大顺序排列好，这是关键。 然后分成个数为奇数与偶数两种情况
            如果是奇数，一列数中的中间的数叫中位数  。举个例子：1 2 3 4 5，那么中位数就是3

                 如果是偶数，中间两数的平均数叫中位数 。   举个例子：1 2 3 4 5 6， 那么中位数就是（3+4）/2=3.5

    

问题：给两个已经排好序的数组，一个长度为 m (m >= 1), 一个长度为 n (n >= 1)，找出这两个数组的中位数。时间复杂度要求为 O(m+n), 空间复杂度为 O(1)。

其实这个问题本身来讲是不难的，关键的关键，是对一些边界条件的处理。

思路：

我们首先不管两个数组里含有多少个数字，而是先得到第 (m+n+1)/2个数字的值。 如果 m + n为奇数，我们返回第 (m+n+1)/2，如果m + n为偶数，那么我们找出第 (m+n+2)/2个数字, 然后求平均。

 public class Med {

     public static float getMedian(int[] a, int[] b) {
         if (a == null || b == null || (a.length + b.length) == 0) return Float.MIN_VALUE;

         int pa = 0;
         int pb = 0;
         float median = 0;
         while (pa + pb != (a.length + b.length + 1) / 2) {
             int Ai = (pa == a.length) ? Integer.MAX_VALUE : a[pa];
             int Bj = (pb == b.length) ? Integer.MAX_VALUE : b[pb];
             if (Ai < Bj) {
                 median = a[pa];
                 pa++;

             } else {
                 median = b[pb];
                 pb++;
             }
         }
         if ((a.length + b.length) % 2 == 1) {
             return median;
         } else {
             int Ai = (pa == a.length) ? Integer.MAX_VALUE : a[pa];
             int Bj = (pb == b.length) ? Integer.MAX_VALUE : b[pb];
             int median2 = (Ai < Bj) ? Ai : Bj;
             return (float)(median + median2) / 2;
         }
     }

     public static void main(String[] args) {

         int[] b = {1, 2};
         int[] a = {5, 6};
         System.out.println(getMedian(a,b));
     }
 }

        

参考：http://www.cnblogs.com/mingzi/archive/2009/08/04/1538491.html