投影变换
1 >基本概念
在计算机图形软件中所采用笛卡尔(cartesian)直角三维坐标系统，按照z轴方向的不同有两种形式：
1右手系统：当用右手握住z轴时，大姆指指向z轴的正方向(图3.20(a))，其余四个手指从x轴到y轴形成一个弧。
2左手系统：当用左手握住z轴时，大姆指指向z轴的正方向(图3.20(b)))；其余四个手指从x轴到y轴形成一个弧。
在三维坐标系统中，物体上的每一点都以三个分量(x,y,z)描述，这样的物体称为三维物体。要想将一个三维物体描画在一个二维的平面，如纸面，荧光屏面上，必须对三维物体进行投影。投影(project)是一种使三维对象映射为二维对象的变换。它可描述为：
project(object(x,y,z))→object(x′，y′)
投影的要素除投影对象，投影面外，还有投影线。按照投影线角度的不同，有两种基本投影方法：
1平行投影(parallel projection)。它使用一组平行投影将三维对象投影到投影平面上去(图3.21(a))。
2透视投影(perspective projection)。它使用一组由投影中心产生的放射投影线，将三维对象投影到投影平面上去。
在图3.21中，F为投影平面；p1p2为三维直线；p′，p′是p1p2在F上的投影；虚线显示投影线；o是投影中心。
由平行投影方法表现三维对象的图，称为正视图和轴测图，由透视投影方法表现三维对象的图，称为透视图。在以下几节的讨论中，假设投影面与xoy面重合，即在投影面上z＝0。
2 >平行投影变换
按照标准线与投影面的交角不同，平行投影分为两类：正交平行投影和斜交平行投影。
1正交平行投影(orthographic P.P.)的投影线与投影平面成90°角。将一个三维点(x,y,z)用正交平行投影法投影平面xoy上，得到一个二维点(xp,yp)。这种变换，可以由正交平行交换公式来计算，它为
xp＝x
yp＝y
zp＝0
同样，也可以将三维物体正交平行投影于xoz和yoz平面上，分别获平视与侧视图。设计中常用正交平行投影来产生三视图称为正视图。它们具有x,y方向易于测量的特点，因此作为主要的工程施工图纸。
2斜交平行投影(oblique P.P.)的投影线与投影面成α交角。图3.21示出一个三维点(x,y,z)以斜交平行投影方法投影在投影面上，形成投影坐标xp,yp的情况。其中投影线与投影面的夹角为α，交点a离开正交投影与投影面的交点b的距离为L；L与x轴之夹角为φ。斜交投影变换的公式为：
xp＝x＋Lcosφ
yp＝y＋Lwinφ
由图3.21可知，L与α具有如下关系：
tgα＝z/L
由此可知，当α一定时，L与z成比例。令L1＝Ｌ/z，即z＝1时的L之长。则上式改写为：
xp＝x＋z(L1·cosφ)
yp＝y＋z(L1·sinφ)
zp＝0
它的矩阵运算式为：
［xp yp z1 1］＝［x y z 1］
上式中的L1与φ是任意斜交平行投影重要的显示参数。它们的物理意义由图3.23可知。φ控制与z轴平行的线的投影的方向。L1则控制投影的长度。在工程制图中，经常选择一些兼有美观及绘图方便的φ与L1之值来投影。常用值有：
1)φ＝４５°或φ＝30°，此时既美观，绘图也方便。
2)L1＝１，即L＝z(tgα＝1，α＝４５°)此时可以在投影图上直接量出z的大小。
3)L1＝0.5，即z＝2L(tgα＝２，α＝634°)此时图形比较美观，z值也较易算出。
斜交平行投影也称轴测投影，所获的图称轴测图。
3 >透视投影变换
在讨论透视投影变换时，投影中心设在z轴的负轴上。投影中心c到位于投影平面上的坐标原点o之距为d。图3.24这些设定是为了简化透视变换的计算。
为求透视投影变换公式，先列出直线PC的参数方程：
x′＝x－xu
y′＝x－yu
z′＝z－(z＋d)u
其中参数u的变化范围在0～1之间。当u＝0地，(x′，y′z，′)等于(x,y,z)，即p点；当u＝１时，(x′，y′，z′)等于(0，0，－d)，即c点，因此，u值表示直线pc上的位置。直线pc与投影平面
xoy之交点处z′＝0，即u＝z/(z＋d)。将u值代入另两个参数方程，便得透视投影变换公式：
xp＝x·d/(z＋d)
yp＝y·d/(z＋d)
zp＝0
矩阵运算的形式为：
［xp yp zp 1］＝［x y z 1］