Tarjan求有向图的强连通分量(Tarjan算法描述)

 强连通分量是有向图中的概念,我们先说强连通分量的定义吧:在一个图的子图中,任意两个点相互可达,也就是存在互通的路径,那么这个子图就是强连通分量(或者称为强连通分支)。如果一个有向图的任意两个点相互可达,那么这个图就称为强连通图。

        我们常用的求强连通分量的算法有两个,一个是Kosaraju算法,这个算法是基于两次dfs来实现的;还有一个就是Tarjan算法,这个算法完成一次dfs就可以找到图中的强连通分支。我的这篇文章主要介绍Tarjan算法。

       Tarjan算法是基于这样一个原理:如果u是某个强连通分量的根,那么:

(1)u不存在路径可以返回到它的祖先

(2)u的子树也不存在路径可以返回到u的祖先。

        因此我们在实现Tarjan算法的时候,使用dfsnum[i]记录节点i被访问的时间,也可以理解为在访问该点之前已经访问的点的个数。然后使用数组low[i]记录点i或者i的子树最小可以返回到的节点(在栈中)的次序号。

        这里还要说一下low[i]的更新过程,

if(v是i向下dfs的树边) low[i]=min(low[i],low[v]);//这里也就是说low[i]表示i或者i的子树所能追回到的最小的点序号。

if(v不是树边也不是横叉边) low[i]=min(low[i],dfsnum[v]);//其实这里你直接更新成low[v]代替dfsnum[v]也是可以的

        根据上面的原理,我们可以发现只有当dfsnum[i]==low[i]的时候就正好是强连通分量的根。这个时候我们把在栈中的点(在遇到根之前在栈中的点)出栈,并且标记好点所属的强连通分支的编号。

        整个Tarjan算法跑下来就可以完成强连通分支的求解了。

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