OpenCV 最小二乘拟合方法求取直线倾角

工业相机拍摄的图像中，由于摄像质量的限制，图像中的直线经过处理后，会表现出比较严重的锯齿。在这种情况下求取直线的倾角（其实就是直线的斜率），如果是直接选取直线的开始点和结束点来计算，或是用opencv自带的哈夫曼直线方法，都会引起较大的角度偏差，一般会达到好几度。误差这么大，显然达不到工控要求。后来尝试采取直线点集做最小二乘拟合，误差缩小到0.5以下。以下是算法的代码：

	//最小二乘拟合计算直线的倾角
	int pointCount = pointVect.size();
	if (pointCount > 0)
	{
		int xCount = 0;
		int yCount = 0;
		int xyCount = 0;
		int xxCount = 0;
		for (int i = 0; i< pointCount; i++)
		{
			xCount += pointVect.at(i).x;
			yCount += pointVect.at(i).y;
			xyCount += (pointVect.at(i).x * pointVect.at(i).y);
			xxCount += (pointVect.at(i).x * pointVect.at(i).x);
		}
		double k = (double)(pointCount * xyCount - xCount * yCount) / (double)(pointCount * xxCount - xCount * xCount);
		double sinValue = - k / (sqrt(1 + k * k));
		double radian = asin(sinValue);
	        double pi = 3.1415926535;
	        double angle = radian * 180.0 / pi;
	}

下面是最小二乘的理论基础：

摘自http://blog.sina.com.cn/s/blog_648868460100hevs.html

曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设x和y之间的函数关系为：

                   y＝a+bx

式中有两个待定参数，a代表截距，b代表斜率。对于等精度测量所得到的N组数据（x_i，y_i），i＝1，2……，N，x_i值被认为是准确的，所有的误差只联系着y_i。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。     

用最小二乘法估计参数时，要求观测值y_i的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，可使下式的值最小：

上式分别对a、b求偏导得：
    

整理后得到方程组

    解上述方程组便可求得直线参数a和b的最佳估计值。

相关系数r:

最小二乘法处理数据除给出a、b外，常常还给出相关系数r,  r定义为

 

算例：我用一篇论文中的已知数据作为算例。

计算：

代入上面推导出来的计算公式可得：

a=13.6284394650024    b=-0.0799231779033084