关于正交变换和正交矩阵一点学习笔记 :
定义
:
设
V
是一个欧氏空间
,
А是
V
上的线形变换
,
如果对于任何向量
x,y,
变换А恒能使的下列等式成立则说А是
V
上的正交变换。
定理
:
А是欧氏空间
V
上的线形变换
,
下面满足任意条件都是А成为正交变换的充要条件。
1.
А使得向量长度保持不变,机对于任何x
∈
V
有
(
А
(x),
А
(x))=(x,x)
2.
任意一组标准正交基经过
А变换后的 基像仍是一组标准正交基。
3. А在任意一组标准正交基下的矩阵А满足ATA=AAT=I或A-1 = AT
关于应用方面两类常见的正交变换:
1.
平面上的旋转变换
按照平面中的坐标系经过α度旋转得到如图所示的变换:
А
(i) = cos
α*I – sinα*j
{
А
(j) = sin
α*j + cosα*I
А
(I,j) = (I,j)( cos
α,sinα
)
(-sin
α,cosα)
y y’ x
j
I
α
|
А | =cos
α
2 +
sin
α
2 = 1
icos
α
x’
-jsin
α
2.
反射变换
j
А
(i) = I’ = I + 0*j i
А
(j) = j’ = 0*I+(-1)j
А
(I,j) = (I,j)(1, 0)
(0,-1)
下面将其推广到
n
维空间中
初等旋转变换
:n
维
Euclid
空间
V
中取一组标准正交基
e1,e2…en
1
.
1
cos
α … … … sinα
Rij = .
.
-sin
α… … … cosα
1
此时确定的变换为初等旋转变换也叫做 Givens
变换 ,
具备两个性质①行列式值为 1
②是正交变换 Rij
为正交阵
①可以通过下面证明 :
自己推导令 C = cos
α, S = sinα
则可以化成
1
.
1
C
… … … S
Rij = .
.
-S
… … … C
1
可以通过分解消元上下角可以消去
|
Rij | = 1*
C
… … … S
1
.
-S
… … … C
再通过内部消去分解可以得到
|
Rij | = C
S = C2+ S2 = cos
α
2 +
sin
α
2=1
-S C
② Rij
TRij =
1 1
. .
1 1
C
… … … -S C … … … S
. .
. .
S
… … … C -S … … …C
1 1
1
.
1
C2+S2
… … …
C2+S2
Rij = . = I
.
C2+S2
… … …
C2+S2
1
还有一个镜象变换图片太难画不搞了 ,
用途可以用于 n
维空间中将图片进行旋转。提供简单计算公式。后面扫描图片算了画是画死了。