卡特兰数总结

 Catalan Number

1：

原理

h(0)=1, h(1)＝1，h(2)＝2，h(3)＝5，h(4)＝14，h(5)＝42，h(6)＝132，h(7)＝429，h(8)＝1430，h(9)＝4862，h(10)＝16796，h(11)＝58786，h(12)＝208012，h(13)＝742900，h(14)＝2674440，h(15)＝9694845·····················

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1]：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 
例如

h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5 

另类递推式： 　　    h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 
递推关系的解为：     h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,3,...) 
递推关系的另类解为： h(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)(n=0,1,2,3,...)

2：

卡特兰数的应用

1：矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

思路：可以这样考虑，首先通过括号化，将P分成两个部分，然后分别对两个部分进行括号化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an)，然后 再对(a1)和(a2×a3.....×an)分别括号化；又如分成(a1×a2)×(a3.....×an)，然后再对(a1×a2)和 (a3.....×an)括号化。

       设n个矩阵的括号化方案的种数为f(n)，那么问题的解为

        f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)两部分，然后分别括号化。

       计算开始几项，f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。结合递归式，不难发现f(n)等于h(n-1)。

2、 有n个节点的二叉树共有多少种情形？
      解：有h(n)种情形

自己的理解：
一共有a0,a1,a2,…,an共n个元素，由它们来构造二叉树。h(n)表示这n个元素一共可以构成h(n)个不同的二叉树。如果选取a0作为根节 点，那么其左子树包含0个元素，左子树的数目是h(0)；其右子树包含n-1个元素，右子树的数目是h(n-1);以a0为根节点的二叉树的数目是 h(0)*h(n-1)。如果选取a1作为根节点，那么其左子树包含1个元素a0，左子树的数目是h(1);其右子树包含h(n-2)个元素，右子树的数 目是h(n-2);以a1为根节点的二叉树的数目是h(1)*h(n-2)。如果选取ai作为根节点，其左子树包含i个元素，左子树的数目是h(i)；右 子树包含n-i-1个元素，右子树数目为h(n-i-1)；以ai为根节的二叉树的数目是h(i)*h(n-1-i)。
总的二叉树的数目为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+…+h(i)*h(n-1-i)+…+h(n-1)*h(0)
如果一共有0个节点，那么二叉树的数目为h(0)=1;如果一共有1个节点，那么二叉树的数目为h(1)=1
3、一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

      思路：这个与加括号的很相似，进栈操作相当于是左括号，而出栈操作相当于右括号。n个数的进栈次序和出栈次序构成了一个含2n个数字的序列。第0个数字肯 定是进栈的数，这个数相应的出栈的数一定是第2i+1个数。因为如果是2i，那么中间包含了奇数个数，这奇数个肯定无法构成进栈出栈序列。

       设问题的解为f(2n)， 那么f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) + f(2n-2)*f(0)。f(0) * f(2n-2)表示第0个数字进栈后立即出栈，此时这个数字的进栈与出栈间包含的数字个数为0，剩余为2n-2个数。f(2)*f(2n-4)表示第0个数字进栈与出栈间包含了2个数字，相当于1 2 2 1，剩余为2n-4个数字。依次类推。

       假设f(0) = 1，计算一下开始几项，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。结合递归式，不难发现f(2n) 等于h(n)。

 4、买票找零问题　类似题目：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 共h（n)*n！*n!

5、在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？(不懂)

       思路：以其中一个点为基点，编号为0，然后按顺时针方向将其他点依次编号。那么与编号为0相连点的编号一定是奇数，否则，这两个编号间含有奇数个点，势必会有个点被孤立，即在一条线段的两侧分别有一个孤立点，从而导致两线段相交。设选中的基点为A，与它连接的点为B，那么A和B将所有点分成两个部分，一部分位于A、B的左边，另一部分位于A、B的右边。然后分别对这两部分求解即可。

       设问题的解f(n)，那么f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示编号0的点与编号1的点相连，此时位于它们右边的点的个数为0，而位于它们左边的点为2n-2。依次类推。

       f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。结合递归式，不难发现f(2n) 等于h(n)。

6 n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数为h(n).

7圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数为h(n)

8求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？

      思路：以凸多边形的一边为基，设这条边的2个顶点为A和B。从剩余顶点中选1个，可以将凸多边形分成三个部分，中间是一个三角形，左右两边分别是两个凸多边形，然后求解左右两个凸多边形。

      设问题的解f(n)，其中n表示顶点数，那么f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三个相邻的顶点构成一个三角形，那么另外两个部分的顶点数分别为2和n-1。

      设f(2) = 1，那么f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。结合递推式，不难发现f(n) 等于h(n-2)。

9Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数

10 Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）

总结：个人感觉只要是一个问题可以分化为很多种2部分的情况的和  就可能是卡特兰数 即一个问题 可以分成2部分去解决，而这个分成2部分的过程有很多种这时候就可能是卡特兰数了主要是结合这个式子去理解h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) 

//函数功能: 计算Catalan的第n项

//函数参数: n为项数

//返回值:   第n个Catalan数

int Catalan(int n)

{

if(n <= 1)

return 1;

int *h = new int [n+1]; //保存临时结果

h[0] = h[1] = 1;        //h(0)和h(1)

for(int i = 2; i <= n; i++)    //依次计算h(2),h(3)...h(n)

{

h[i] = 0;

for(int j = 0; j < i; j++) //根据递归式计算 h(i)= h(0)*h(i-1)+h(1)*h(i-2) + ... + h(i-1)h(0)

h[i] += (h[j] * h[i-1-j]);

}

int result = h[n]; //保存结果

delete [] h;       //注意释放空间

return result;

}

下面的代码可以求出很大的卡特兰数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define base 10000//数组一个单位存的是10000进制
#define maxx 100//数组长度
void multiply(int a[],int max,int b)
{
    int i,array=0;
    for(i=max-1;i>=0;i--)
    {
        array+=b*a[i];
        a[i]=array%base;
        array/=base;
    
    }
    //for(i=0;i<max;i++)    printf("%d",a[i]);
//    printf("\n");
}
void divide(int a[],int max,int b)
{
    int i,div=0;
    for(i=0;i<max;i++)
    {
        div=div*base+a[i];//如果前面div不为0则加上div*base 如果为0 不借位就算了 假如a[i-1]=0000,a[i]=0006  b=3，这时前面div为0 不借位就算了得到2
        a[i]=div/b;
        div%=b;
    }
    //for(i=0;i<max;i++)    printf("%d",a[i]);
    //printf("\n");
}
int main()
{
    int n,i;
    int a[101][maxx];                                                                       //只是打印了从1到100的卡特兰数 数组就开了100
    memset(a[1],0,maxx*sizeof(int));//初始化a[1]为0
    for(i=2,a[1][maxx-1]=1;i<101;i++)
    {
        memcpy(a[i],a[i-1],maxx*sizeof(int));//把a[i-1]复制进a[i]
        multiply(a[i],maxx,4*i-2);
        divide(a[i],maxx,i+1);
    }
    while(scanf("%d",&n)&&n!=-1)//输入n对应输出卡特兰数
    {
        for(i=0;i<maxx&&a[n][i]==0;i++);
        printf("%d",a[n][i++]);
        for(;i<maxx;i++)
        {
            printf("%04d",a[n][i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}