编程之美资格赛3：格格取数

描述

给你一个m x n (1 <= m, n <= 100)的矩阵A (0<=aij<=10000)，要求在矩阵中选择一些数，要求每一行，每一列都至少选到了一个数，使得选出的数的和尽量的小。

输入

多组测试数据。首先是数据组数T

对于每组测试数据，第1行是两个正整数m, n，分别表示矩阵的行数和列数。

接下来的m行，每行n个整数，之间用一个空格分隔，表示矩阵A的元素。

输出

每组数据输出一行，表示选出的数的和的最小值。

数据范围

小数据：1 <= m, n <= 5

大数据：1 <= m, n <= 100

思路：

先假设M=N，如果暴力法搜索，则需要M！次，当M=100时，根本不行。

贪心算法？先找到最小的，再找次小的，依次寻找，如果行或者列重复了就跳过继续寻找，这种方法复杂度极低，但是无法证明贪心是错的。

比如下面的例子：

0 1 4

1 5 8

3 2 4 

如果用贪心算法答案是，0+2+8=10，但这题答案明显是1+1+4=6.

之前有人用贪心算法提交结果是AC，这说明微软的测试数据有问题。

下面说说我的思路，大家来评价下是否正确：

我用动态规划，dp[k][i][j]表示横着数第i个，纵着数第j个k*k大小的矩阵的最小值。这样k从1到M，i和j是内层循环，范围是M*N矩阵内又多少个k*k的矩阵。下面举个简单的例子说明。M=N=3.

k=1时，dp[i][i][j]就是矩阵的各个元素。

k=2时，i和j的范围是2*2，先求dp[2][1][1],就是最左上角的2*2的矩形的值，他是对角线元素相加，取最小值，剩下四个2*2的矩形的值类似计算，这样k=2的都计算完了。

k=3时，i和j都只能为1了，这时的最小值是（左上角2*2矩形+右下角矩阵值），（右上角+左下角）。。。四个值的最小值。

如果k继续增加，对于每个i，j，取四个值的最小值就行，k就逐个递增。

代码如下：

//source here
#include<iostream>
#include <memory.h>
using namespace std;
int T,M,N,a[100][100],i,j,k,p;
int dp[100][100][100];
int main()
{
    cin>>T;
    for( p=0;p<T;p++)
    {
	cin>>M>>N;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(j=0;j<M;j++)
		for(k=0;k<N;k++)
		   cin>>a[j][k];		
        for(j=0;j<M;j++)
		for(k=0;k<N;k++)
		   dp[1][j+1][k+1]=a[j][k];
 		for (k=2;k<=N;k++)
			for(i=1;i<=M-k+1;i++)
				for(j=1;j<=N-k+1;j++)
				dp[k][i][j]=min(min(dp[k-1][i][j]+a[i+k-2][j+k-2],dp[k-1][i+1][j]+a[i-1][j+k-2]),min(dp[k-1][i][j+1]+a[i+k-2][j-1],dp[k-1][i+1][j+1]+a[i-1][j-1]));
    cout<<"Case "<<p+1<<":"<<dp[N][1][1]<<endl;
    }
    return 0;
}

我在VC上测的很多数据都是对的，但是提交是WA，所以我也不确定这思路是否正确，还请大神评价。

复杂度大概是4*（1^2+2^2+...+M^2），O(M^3)，还可以接受。

当然题目没说M=N，当两者不等时,M>N，先计算出N*N的数，有M-N+1个，剩下M-N行每行取最小值，把前面M-N+1个最小值一次和剩下的行中的最小值相加，最后取这M-N+1个数的最小值即可。
修正：这个思路还是不对，正如下面的评论，听说可以用匈牙利法，有点复杂。。。