【算法设计与数据结构】URAL 1167. Bicolored Horses（动态规划求解）

题目链接：

http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1167

题目大意：

有N匹马，分为黑马和白马，要把他们安排到K个马槽中，最后所有马槽都不能是空的。我们将N匹马排成一列，要求按顺序安排马槽，比如前P1匹马安排在第一个槽，接下来的P2匹马安排在第二个槽。对于某一个马槽，设有i匹黑马和j匹白马，求使得所有马槽的i*j之和最小的方案，输出最小值。

思路：

前i个马槽放j匹马，可转移为：前i-1个马槽放m匹马(i-1 <= m < j)，第j个槽放j-m匹马，遍历所有的m，取最优值。
设dp[i][j]表示前i个马槽放j匹马的最优值，black[k]、white[k]分别表示前k匹马中的黑马和白马数量。
则状态转移方程为：

for (int m = i-1; m < j; m++)
    dp[i][j]=min(dp[i-1][m]+(black[j]-black[m])*(white[j]-white[m]), dp[i][j]); 

算法步骤：

1） 初始化边界条件：

//先全部置为不合法
for (int i = 0; i <= k; i++)
    for (int j = 0; j <= n; j++) 
        dp[i][j] = INF;
//前i个马槽放i匹马，即一匹马一个马槽时的情况 
for (int i = 0; i < MAXN; i++)
    dp[i][i]=0;

2） 根据状态转移方程动态规划求解：

for (int i = 1; i <= k; i++)
    for (int j = i; j <= n-(k-i); j++)  //至少留下(k-i)匹马给剩下的k-i个马槽 
        for (int m = i-1; m < j; m++)
       //前i-1个马槽放m匹马，第i个马槽放j-m匹马，于是需要算出m到j之间的黑马和白马数量 
            dp[i][j]=min(dp[i-1][m]+(black[j]-black[m])*(white[j]-white[m]), dp[i][j]);
cout<<dp[k][n]<<endl;

源程序：

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>

using namespace std;

const int INF = 99999999;

const int MAXN = 505;

bool h[MAXN];

int dp[MAXN][MAXN];

int black[MAXN],white[MAXN];

int main()
{ 
    memset(white,0,sizeof(white));
    memset(black,0,sizeof(black));
    int n, k;
    cin>>n>>k;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin>>h[i];  
        black[i] = black[i-1] + h[i];   //前i匹马中，黑马的数量 
        white[i] = white[i-1] + !h[i];
    }

    for (int i = 0; i <= k; i++)
        for (int j = 0; j <= n; j++) 
            dp[i][j] = INF;
    for (int i = 0; i < MAXN; i++)
         dp[i][i]=0;
    //前i个马槽放j匹马，可转移为：前i-1个马槽放m匹马(i-1<=m<j)，第j个槽放j-m匹马，遍历所有的m，取最优值
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        for (int j = i; j <= n-(k-i); j++)  //至少留下(k-i)匹马给剩下的k-i个马槽 
            for (int m = i-1; m < j; m++)
                //前i-1个马槽放m匹马，第i个马槽放j-m匹马，于是需要算出m到j之间的黑马和白马数量 
                dp[i][j]=min(dp[i-1][m]+(black[j]-black[m])*(white[j]-white[m]), dp[i][j]); 
    cout<<dp[k][n]<<endl;
    return 0;
}