NP的一些相关概念和认识

【严格定义请参考相关教材性读物，此文尽量从通俗易懂入手】

1．先来几个基础的概念：

• P问题：多项式时间内可解的判定问题
• NP问题：多项式时间内可验证（结果是0或者1）的问题
• co-NP问题：NP的补问题
• NPC问题：【NP-Complete】NP问题中最难的问题
• NP-Hard问题：比所有NP问题还难的问题，但不要求一定是NP问题

2．关系分析：

• 所谓验证就是在提供一个证据的情况下，判断一个目标是否可以达到，相比起来：判定就要找到一组具体的变量来满足一定的目标条件，如达到最优解的一组变量值，而验证是提供了某一组变量的值，看是否满足目标条件。相对而言：

  验证要比判定简单。举个简单的例子：验证就是给你一组数字，让你看它是否是某个方程组的解，而判定则要求你求出所有解。毫无疑问，验证是简单的。（这里只是举例说明，不考虑精确性，尽管在中文中，这两个词的意思是如此接近，这里的名词也仅是常用的词汇的翻译，谁让老外先研究我们再翻译呢）

• Co-NP是NP的补问题，举例来讲，如果我们说某一个某一个NP问题是：是否满足条件的解，那么Co-NP就是是否不存在这样的解满足条件？那么Co-NP问题是NP问题么，不一定。
• 不要误解为NP就是P问题的反义（从字面上看），至少到目前为止，还没有人能证明P，NP,co-NP的绝对包含关系，我们的认知只是从一般感觉上出发【广告：谁要是能解决这个包含问题，图灵奖探囊取物】。当前研究者倾向于：

图上很清晰，我就不解释了。

• NPC，俗称NP完全问题，是号称NP问题中最难的问题集合，据说目前已经找到1k多的NPC问题，它们都是最难的？yes，或者说是一样难的，只要你能证明其中一个是可以多项式时间内找到解的，那么你就证明了p=NP了。试想：最难的都是P的了，其它的就更不用说了。重复：图灵奖也是你的了。

• 常见的NPC问题有：
  • CIRCUIT-SAT 布尔组合电路：找到让电路可满足的布尔输入值指定
  • SAT 布尔逻辑：找到让布尔公式满足的值指定
  • 2-CNF-SAT 三文字合取范式：找到让三文字合范式最后输出值满足的值指定
  • Clique 完全子图：在一个图中，找到最大的顶点集合，要求这几个顶点之间全连接
  • Vertex-cover 顶点覆盖：在一个图中，找到最小的顶点集合，要求这几个顶点所相连接的边覆盖全图
  • Ham-Cycle 哈密顿圈：要求寻找一条环游路线使得经过每个定点恰好一次
  • TSP 旅行商问题：如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径，也就是最优哈密顿圈问题
  • Subset-sum 子集和：找到一个子集，让其和满足一定条件
• NP-hard不一定是NP问题，如果我们希望证明一个问题是NPC问题，往往先证明其是一个NP问题，然后是NP-hard问题，那么其就是一个NPC问题。