【数论】线性筛素数，线性筛欧拉函数，求前N个数的约数个数

先来最基本的线性筛素数，以后的算法其实都是基于这个最基本的算法：

#include<stdio.h> #include<string.h> #define M 10000000 int prime[M/3]; bool flag[M]; void get_prime() { int i,j,k; memset(flag,false,sizeof(flag)); k=0; for(i=2;i<M;i++){ if(!flag[i]) prime[k++]=i; for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){ flag[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0) break; } } } int main() {}

利用了每个合数必有一个最小素因子，每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次，所以是线性时间。
代码中体现在： if(i%prime[j]==0) break;
----------------------------------------------------------------------- 我是低调的分割线 ------------------------------------------------------------------------------------------
然后可以利用这种线性筛法求欧拉函数，需要用到以下几个性质：
//(1) 若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
//(2) 若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1); 
其中a是N的质因数。
关于欧拉函数还有以下性质：
(1) phi[p]=p-1;  (p为素数);
(2)若N=p^n(p为素数)，则 phi[N]=(p-1)*p^(n-1);
关于欧拉函数，Wiki有很详细的介绍。

#include<stdio.h> #include<string.h> #define M 10000000 int prime[M/3],phi[M]; bool flag[M]; void get_prime() { int i,j,k; memset(flag,false,sizeof(flag)); k=0; for(i=2;i<M;i++){ if(!flag[i]){ prime[k++]=i; phi[i]=i-1; } for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){ flag[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0){ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); } } } int main() {}

-----------------------------------------------------------------------我 是低调的分割线 -----------------------------------------------------------------------------------------
求约数个数略微复杂一点，但大体还是那个意思。
约数个数的性质，对于一个数N，N=p1^a1 + p2^a2 + ... + pn^an。其中p1 ,p2, p3... pn是N的质因数，a1 ,a2, a2,...an为相应的指数，则
                                                           div_num[N]=(p1+1)*(p2+1)*(p3+1)* ... *(pn+1);
结合这个算法的特点，在程序中如下运用：
  对于div_num：

(1)如果i|prime[j] 那么 div_num[i*prime[j]]=div_sum[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2)                  //最小素因子次数加1
(2)否则 div_num[i*prime[j]]=div_num[i]*div_num[prime[j]]                                     //满足积性函数条件

  对于e：

(1)如果i|pr[j]  e[i*pr[j]]=e[i]+1; //最小素因子次数加1
(2)否则 e[i*pr[j]]=1;              //pr[j]为1次

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define M 10000000
int prime[M/3],e[M/3],div_num[M];           // e[i]表示第i个素数因子的个数
bool flag[M];
void get_prime()
{
	int i,j,k;
	memset(flag,false,sizeof(flag));
	k=0;
	for(i=2;i<M;i++){
		if(!flag[i]){                            
             		prime[k++]=i;
             		e[i]=1;
           		div_num[i]=2;                       //素数的约数个数为2
       		}
         	for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){
            		flag[i*prime[j]]=true;            
             		if(i%prime[j]==0){
               			div_num[i*prime[j]]=div_num[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);
                		e[i*prime[j]]=e[i]+1;
                 		break;
            		}
            		else{
                 		div_num[i*prime[j]]=div_num[i]*div_num[prime[j]];
                 		e[i]=1;
             		}
         	}
    	}
}
int main()
{}
 

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