动态规划系列之一 引言 ：由一个问题引出的算法
http://iprai.hust.edu.cn/icl2002/algorithm/algorithm/technique/dynamic_programming/introduction.htm
引言——由一个问题引出的算法
考虑以下问题
[例1] 最短路径问题
现有一张地图，各结点代表城市，两结点间连线代表道路，线上数字表示城市间的距离。如图1所示，试找出从结点A到结点E的最短距离。
图 1
我们可以用深度优先搜索法来解决此问题，该问题的递归式为
其中是与v相邻的节点的集合，w(v,u)表示从v到u的边的长度。
具体算法如下：
function MinDistance(v):integer;
begin
if v=E then return 0
else
begin
min:=maxint;
for 所有没有访问过的节点i do
if v和i相邻 then
begin
标记i访问过了;
t:=v到i的距离+MinDistance(i);
标记i未访问过;
if t<min then min=t;
end;
end;
end;
开始时标记所有的顶点未访问过，MinDistance(A)就是从A到E的最短距离。
这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O(n!)，这是一个“指数级”的算法，那么，还有没有更好的算法呢？
首先，我们来观察一下这个算法。在求从B1到E的最短距离的时候，先求出从C2到E的最短距离；而在求从B2到E的最短距离的时候，又求了一遍从C2到E的最短距离。也就是说，从C2到E的最短距离我们求了两遍。同样可以发现，在求从C1、C2到E的最短距离的过程中，从D1到E的最短距离也被求了两遍。而在整个程序中，从D1到E的最短距离被求了四遍。如果在求解的过程中，同时将求得的最短距离"记录在案"，随时调用，就可以避免这种情况。于是，可以改进该算法，将每次求出的从v到E的最短距离记录下来，在算法中递归地求MinDistance(v)时先检查以前是否已经求过了MinDistance(v)，如果求过了则不用重新求一遍，只要查找以前的记录就可以了。这样，由于所有的点有n个，因此不同的状态数目有n个，该算法的数量级为O(n)。
更进一步，可以将这种递归改为递推，这样可以减少递归调用的开销。
请看图1，可以发现，A只和Bi相邻，Bi只和Ci相邻,...，依此类推。这样，我们可以将原问题的解决过程划分为4个阶段，设S1={A},S2={B1,B2},S3={C1,C2,C3,C4},S4={D1,D2,D3}，Fk(u)表示从Sk中的点u到E的最短距离，则
并且有边界条件
显然可以递推地求出F1(A)，也就是从A到E的最短距离。这种算法的复杂度为O(n)，因为所有的状态总数（节点总数）为n，对每个状态都只要遍历一次，而且程序很简洁。
具体算法如下：
procedure DynamicProgramming;
begin
F5[E]:=0;
for i:=4 downto 1 do
for each u ∈Sk do
begin
Fk[u]:=无穷大;
for each v∈Sk+1∩δ(u) do
if Fk[u]>w(u,v)+Fk+1[v] then Fk[u]:=w(u,v)+Fk+1[v];
end;
输出F1[A];
end;
这种高效算法，就是动态规划算法。
以下是上述两个算法的具体实现
#include <fstream>
ifstream fin("in.txt");
#define maxLength 20
#define maxPath 20
#define MAX 1000000
int matrix[maxLength][maxLength];//有向图临界表
int minPath[maxPath];//存储每个节点到终点的最短路径
int trace[maxLength];//记录下最短路径
int v_n;//节点个数
int visited[maxLength];
int MinDistance_1(int v)
{
if(v==v_n-1)
{
return 0;
}
int min=MAX,t,j;
for(int i=v+1;i<=v_n-1;i++)//所有没有访问过的节点i
{
if(!visited[i]&&matrix[v][i]!=0)//如果没有访问过的节点i
{
visited[i]=true;
t=matrix[v][i]+MinDistance_1(i);
visited[i]=false;
if(t<min)
min=t;
}
}
return min;
}
int MinDistance(int v)
{
if(minPath[v]>0)//记忆化搜索 存储的是每个节点到终点的最短路径
return minPath[v];
if(v==v_n-1)
return 0;//边界值
int min=1000,t,j;
for(int i=v+1;i<v_n;i++)
{
if(matrix[v][i]>0)
{
t=matrix[v][i]+MinDistance(i);
if(min>t)
{
min=t;
j=i;
}
}
}
minPath[v]=min;
trace[v]=j;//trace[i]的值为其下一个节点的值
return minPath[v];
}
int main()
{
fin>>v_n;
for(int i=0;i<v_n;i++)
{
for(int j=0;j<v_n;j++)
{
fin>>matrix[i][j];
cout<<matrix[i][j]<<"-";
}
cout<<endl;
}
memset(visited,0,sizeof(int)*maxLength);
memset(minPath,0,sizeof(int)*maxLength);
memset(trace,0,sizeof(int)*maxLength);
int minD=MinDistance_1(0);
cout<<"最短路径为:"<<minD<<endl;
return 0;
}