poj 炮兵阵地 状态压缩DP + 位运算
| Time Limit: 2000MS | Memory Limit: 65536K | |
| Total Submissions: 13278 | Accepted: 4868 |
Description
如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。
现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。
Input
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符('P'或者'H')，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100；M <= 10。
Output
Sample Input
5 4 PHPP PPHH PPPP PHPP PHHP
Sample Output
6
这个题目是一道典型的状态压缩DP 。此题的位运算用到比较多。
状压DP 可以说是 集合上的dp 。每个集合的所包含的元素用二进制表示成一个数字。
由于每行最多有M最大为10个，并且每个位置只有两种状态（也就是 有炮兵 或者没有炮兵），于是用二进制数0-1023 来表示所有的状态。
二进制的10001，就表示在第1 个位置有炮兵，第5 个位置有炮兵的状态，表示成10进制的数就是17 。
因此就可以用 每个Integer类型的数就可以来表示一种状态，把一种状态压缩成了一个值，在通过DP 求解 ，就是状态压缩DP。
1。 首先是表示给出的 平地和高原的这张图 ，每一行的情况用 一个二进制数字表示，每一位表示一个点的情况。把p 看成数字0 ，把h 看成数字1 ，（为什么把h看成1 在后边）
那么第一行的二进制表示 0100 ，在转化为 十进制数就是 4。 于是4 就可以表示第一行的情况，3表示第二行的情况。
2 。 我们是把每一行看成一种状态，在列上做DP ，根据前两行的状态去推出这一行的状态。 可以用 f 来推出 表示当前的状态的最大炮兵数。具体这个数组该怎么开 就是个问题了。
我们可以 f[ r , i , j ] 来表示 当前第 r 行 ，此行状态为 i ，上一行的状态为 j 时 的最大的 炮兵数。
f[ r , i , j ] = max ( f[ r-1, j , t ] + bitnum[ i ]); // bitnum[ i ] 表示 i 的二进制的表达式中包含 1 的个数 。
i 表示 当前行的状态 ， j 表示 上一行的状态 ， t 表示 上一行的上一行的状态。
由于攻击范围是 2 个格子 ，因此 当前行 只会跟上两行有关系 ， 就可以 i 状态的最大炮兵数， 跟 j ，t 有关，状态转移的方程 就要包括这三个参数。
如果只跟 j 有关的话， 就直接可以 f [ r, i ] = max( f[ r -1 , j] + bitnum[ i ]) ；
而这里 跟三个参数 有关 写 f [ r ,i ] = operator ( f[ r-1 ,j] , f[r-2,t] ) ; 似乎不可以有 两种状态推出 。
f[ r , i , j ] = max ( f[ r-1, j , t ] + bitnum[ i ]); f[ r , i , j ] 来表示 当前第 r 行 ，此行状态为 i ，上一行的状态为 j 时 的最大的 炮兵数。
这样f [ r ,i , j ] 就可以f [ r -1 , j , t ] 推出来，
当然由上一种状态推出下一种 状态的总炮兵的条件：这样只要 判定 i ， j ， t 三种状态表示的炮兵不会在攻击范围内 ， 并且 当前状态 i 还要 符合地形。
3。 位运算 。 条件的判断 可以用到位运算 。
i 和 j 状态是否攻击 可以理解为 i 和 j 的相同位上 不同时 为 1 。 也就是 i & j ==0 就是合法状态。
同时 i 和当前的地形 也不能冲突 ， 由于地形中 不可放炮兵的 用 1 来表示 ，对于地形为 k 时 ， 只要 k & i == 0 就是 合法的 。
还有一点 就是 每种 状态是 0 - 1023 中 的一个数 ，但是有些状态 本身就是 不成立的 比如 二进制的 1 011 ，两个1 中间至少有两个 0 ，
于是 就可以把所有在行上的合法状态预处理出来，0-1023 之间的合法状态 的总和 为 60左右 ，可以写个程序跑出来。
在 60 中状态上 dp 要比1024 中状态上DP 效率高很多。
我们可以将这 60 种状态 在映射一下，
f[ r , i , j ] = max ( f[ r-1, j , t ] + bitnum[ i ]);
i = 1 时 表示 第一种合法的状态，j 表示第j 种 在行上合法的状态。因此就要预处理出所有的的合法状态，还可以预处理出每种合法状态的对应的 二进制中 1 的个数。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int max (int a,int b){
return (a>b)?a:b;
}
int n ,m;
int pst [120]; // 表示 第 i 行的 地形 的状态 。。。
int statenum; // 所有合法的状态的个数
int state[65]; // 存储 每行的 0 - 1023 之间的 所有合法的状态
int bitnum[65];//from 1 --> statenum ; // 存储 每种合法状态的 二进制表示中的 1 的个数
int f[120][65][65]; // dp
int bitsum =0 ;
bool judge(int num ){// 判断每种状态是否合法， 并且 bitsum 表示 当前状态二进制 中 1 的个数
int last =-3; // 二进制中 上一个 1 的位置
bitsum =0;
for(int i=0;i<=m;i++){
if(num>>i&1){
bitsum ++;
if(i-last<3) // 如果 位置的差 小于了 3 就是不合法
return false;
last = i;
}
}
return true;
}
void init(){ // 处理出 所有合法状态
int bignum = (1<<m) -1;
statenum = 0 ;
for(int i =0; i<=bignum;i++){
if(judge(i)){
statenum++;
state[statenum] = i;
bitnum[statenum] = bitsum;
}
}
}
void solve (){
memset(f,0,sizeof(f));
// dp的 初始 的状态。。。
for(int i =1 ;i<= statenum;i++){
if(!(state[i]&pst[1])){
f[1][i][1]= bitnum[i];
}
}
for(int r =2;r<=n;r++){
for(int i =1 ;i<=statenum ;i++){
if(state[i]&pst[r]) // 如果 i 和 第r 行的地形 不相容
continue;
for(int j =1 ;j<=statenum;j++){
if(state[i]&state[j]) // i 的状态 和 j 的状态 不相容
continue;
for(int t = 1;t<=statenum;t++){
if(state[i]&state[t])
continue;
// r row i current pow's state j表示上一行的状态 t 表示上一行的上一行的状态
f[r][i][j]=max(f[r][i][j],f[r-1][j][t]+bitnum[i]);
}
}
}
}
// 枚举所有状态找出最大值
int ans = 0;
for(int r =1 ;r<=n;r++){
for(int j =1 ;j<=statenum ;j++){
for(int i =1;i<=statenum;i++){
ans= max (ans,f[r][j][i]);
}
}
}
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(pst,0,sizeof(pst));
getchar();
for(int i= 1;i<=n;i++){
for(int j = 1;j<=m;j++){
char ch =getchar();
pst[i]= pst[i]<<1;
if(ch=='H'){
pst[i] +=1;
}
}
getchar();
}
init();
solve();
}