【转】【数论】法雷数列
实数包含有理数和无理数，任何有理数都可以表示为p/q(p,q是整数，q!=0)的形 式，如果指定一个分数的分母不超过某个值，对于一般的有理数或者无理数，是不可以用一个分数来准确地表示的。我们这里主要讨论，如何找出一对分数 p1/q1和p2/q2,使得q1 和q2 小于给定的值n，而p1/q1和p2/q2尽可能接近一个给定的实数.。
先给出一些定义和一个定理：
定义一： 最简分数（也称既约分数或不可约分数）。若p,q的最大公约数是1，我们称分数p/q
是最简分数。
定义二： 真分数，若p,q是正整数，0<p/q<1, 我们说p/q是真分数
定理：
分数a/b, c/d是最简真分数（也可以是0/1或者1/1）且a/b <c/d, 则有
1) 数(a+c)/(b+d)是一个最简分数
2) a/b < (a+c)/(b+d) < c/d
证明略
法雷数列：
对任意给定的一个自然数n，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排
列，并且在第一个 分数之前加上0/1，在最后一个分数之后加上1/1，这个
序列称为n级法雷数列，以Fn表示。
如F5为：1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5.
法雷数列的构造：应用定理中的(2),如果 a/b 和 c/d 是一个法雷数列，则在它们中间可以
插入 (a+c)/(b+d),所以可以二分构造，直到不能构造为止
比如 N = 5：
step1: 准备两个数 0/1, 1/1 作为整个法雷数列的第一个元素和最后一个元素
0/1, 1/1
step2: 在两个数中间插入1个数1/2, 变为
0/1, 1/2, 1/1
step3: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为
0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1
step4: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为
0/1, 1/4, 1/3, 2/5 , 1/2, 3/5, 2/3, 3/4 , 1/1
step5: 0/1 和 1/4 之间 和3/4和 1/1 仍然可插入1个数，且插入的数分母不大于5
0/1, 1/5 , 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 , 1/1
至此，该序列包含了所有分母不大于5的最简真分数，且各个分数以递增顺序排 列。
附递归构造法雷数列的程序：
#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; int N; void farey(int a,int b,int c,int d){ if(b+d > N) return ; if(b+d == N){ printf("%d/%d",a+c,b+d); if(a+c != N-1) printf(","); return ; } farey(a,b,a+c,b+d); printf("%d/%d,",a+c,b+d); farey(a+c,b+d,c,d); } int main() { int T; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d",&N); farey(0,1,1,1); printf("/n"); } }