poj1276 cash machine

 这道题是一个多重背包问题。

 以前只是用二维数组，带记忆的递归做过01背包问题，做这个多重背包问题很费劲。

 要想明白，一维数组如何能记录最优解，要想明白如何把多重背包问题转化为01问题。直接把不同个数的同一种物品看作一种物品的方法，会使得物品太多，解的效率很低。

 网上有很多效率高的方法，一种是把多重背包，按二进制数分成不同的物品，从而减少物品个数。也就是把n个相同的物品，转换为log（n)个 不同的物品。

 另一种方法就是如下这种方法（借鉴别人的。刚开始没看懂，很来在纸上画了很多遍，懂了）。

 归根结底还是要理解

for i=1..N  //01背包
    for v=V..0   //注意v的变化顺序的不同哦   递减        //因为递减 就限制了每个物品只用一次
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

for i=1..N   //完全背包
    for v=0..V  //递增                                  //因为递增，所以每个物品可以随便用很多次
        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

for i=1..N   //多重背包
      count[]=0;//都置为0
      for v=0..V  //递增
      if(count[v-cost]<num[i])  //个数限制        //递增 但是限制物品用的次数
         f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

只要真正理解了这3*三行代码，背包问题就都是这样的了。其实。

01背包就是对个数都限制为1，多重背包就是要对个数加个不确定的限制。完全背包就是完全完全不加限制，价值能增加就随你的便增加。

当多重背包的每个物品个数都为1时，多重背包就是01背包。

也就是说下面两段代码是等价的：

for i=1..N   
    for v=V..0   //注意v的变化顺序的不同哦   递减
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

count[]={0}都置为0
for i=1..N    
    for v=0..V     //递增
      if(count[v-cost]<1)  //个数限制
         f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight；
         count[v]=1;
}

想明白为什么等价的话，所有的背包就不是难题了。

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main()
{
	freopen("input.txt","r",stdin);
	int cash;
	while(scanf("%d",&cash)!=EOF)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		if(n==0)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		int *bills=new int[n];
		int *money=new int[n];
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			scanf("%d %d",&bills[i],&money[i]);
		}
		if(cash==0)
		{
			printf("0\n");
			delete [] bills;
			delete [] money;
			continue;
		}
		int *output=new int [cash+1];
		int *count=new int[cash+1];
		memset(output,0,sizeof(int)*(cash+1));
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			memset(count,0,sizeof(int)*(cash+1));
			for(int c=money[i];c<=cash;c++)
			{
				if(count[c-money[i]]<bills[i]&&output[c]<output[c-money[i]]+money[i])
				{
					output[c]=output[c-money[i]]+money[i];
					count[c]=count[c-money[i]]+1;
				}
			}
		}
		printf("%d\n",output[cash]);
		delete []bills;
		delete []money;
		delete []output;
		delete []count;
	}
}