动态规划——最长公共子序列

最长公共子序列的概念：
若 Z < X，Z < Y，且不存在比Z更长的X 和Y 的公共子序列，则称Z是X 和Y 的最长公共子序列，记为Z∈LCS(X , Y)。
问题：找出X 和Y 的一个最长公共子序列？
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们
根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

LCSTestMain.c

#include  < stdio.h >
#include  < string .h >
#define  MAXLEN 100

void  LCSLength( char   * x,  char   * y,  int  m,  int  n,  int  c[][MAXLEN],  int  b[][MAXLEN])
... {
    int i, j;
    
    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    ...{
        for(j = 1; j <= n; j++)
        ...{
            if(x[i-1] == y[j-1])
            ...{
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            ...{
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            ...{
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void  PrintLCS( int  b[][MAXLEN],  char   * x,  int  i,  int  j)
... {
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    ...{
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int  main( int  argc,  char   ** argv)
... {
    char x[MAXLEN] = ...{"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = ...{"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;
    
    m = strlen(x);
    n = strlen(y);
    
    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);
    
    return 0;
}

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。