八数码问题的可解性

对于给定八数码棋局的初始状态，我们的目标是通过交换空格与其相邻棋子使棋盘达到目标状态。
其中，游戏规则是只能交换空格与其上下左右四个方向的相邻棋子。

假设棋局目标状态为如下形式：（A、B、C、D、E、F、G、H表示棋子）
A  B  C
D  E  F
G  H          
而初始状态就是A、B、C、D、E、F、G、H这八个棋子在这九个棋格上的任意分布。

并且我们对棋盘中每个棋格进行如下形式的编号：
1  2  3
4  5  6
7  8  9

那么，对于一个任意的棋局状态，我们可以取得这八个棋子（A、B、C、D、E、F、G、H）的一个数列：棋子按照棋格的编号依次进行排列，记为p=c[1]c[2]c[3]c[4]c[5]c[6]c[7]c[8]（即A、B、C、D、E、F、G、H的一个排列）。

在分析之前，先引进逆序和逆序数的概念：对于棋子数列中任何一个棋子c[i]（1≤i≤8），如果有j>i且c[j]<c[i]，那么 c[j]是c[i]的一个逆序，或者c i]和c[j]构成一个逆序对。定义棋子c[i]的逆序数为c[i]的逆序个数；棋子数列的逆序数为该数列所有棋子的逆序数总和。注：约定A<B<C<D<E<F<G<H。

现在，我们对一个任意的棋局状态p=c[1]c[2]c[3]c[4]c[5]c[6]c[7]c[8]进行分析：

引理1：如果交换任何两个相邻的棋子，那么棋子数列的逆序数将发生奇偶性互变（奇偶性互变是指由奇数变为偶数，或由偶数变为奇数，下同）。
   其证明很简单，假设交换的是c[i]和c[i+1]，那么对于c[j]（1≤j≤i-1或i+2≤j≤8）的逆序数并不改变。若交换之前 c[i]<c[i+1]，那么交换之后，c[i]的逆序数不变，而c[i+1]的逆序数加1（因为c[i]成了它的一个逆序）；同理，若交换之前 c[i]>c[i+1]，那么交换之后，c[i]的逆序数减1，而c[i+1]的逆序数不变。所以，引理1成立。

引理2：如果棋子数列经过n次相邻棋子交换后，若n为偶数，则数列逆序数奇偶性不变；若n为奇数，则数列逆序数将发生奇偶性互变。
   其证明可以由引理1简单推出。

引理3：在满足上述约定的八数码问题中，空格与相邻棋子的交换不会改变棋局中棋子数列的逆序数的奇偶性。
   证明：显然空格与左右棋子交换不会改变棋子数列的逆序数（因为数列并没有改变）。现在考虑空格与上下棋子交换的情况：若空格与上方的棋子交换（假设交换是可行的），将得到一个新数列。若假设交换棋子为c[i]=X，那么原数列p=c[1]...X c[i+1]c[i+2]...c[8]将变为新数列q=c[1]...c[i+1]c[i+2]X ...c[8]（注意：在棋盘中，上下相邻的两棋格之间隔有两个棋格）。由原数列p到新数列q的转变可以通过如下方式加以解释：用X与c[i+1]、 c[i+2]先后进行两次相邻交换而完成状态转变。所以根据引理2知，由p状态到q状态并不会改变改变棋子数列的逆序数的奇偶性。同理可证空格与下方棋子交换也不会改变棋子数列的逆序数的奇偶性。所以，空格与相邻棋子的交换不会改变棋局中棋子数列的逆序数的奇偶性。

定理1
（1）当初始状态棋局的棋子数列的逆序数是奇数时，八数码问题无解；
（2）当初始状态棋局的棋子数列的逆序数是偶数时，八数码问题有解。
   证明：由引理3知，按照八数码问题的游戏规则，在游戏过程中，棋局的棋子数列的逆序数的奇偶性不会发生变化。而上面规定的目标状态没有逆序存在，所以目标状态下棋局的逆序数为偶数（实际为0）。显然，可能的初始状态棋局的棋子数列的逆序数可能为奇数，也可能为偶数（因为把一个初始状态中任意相邻两个棋子交换，得到的新的状态作为初始状态，它们的奇偶性相反）。所以，对于任意一个初始状态，若其棋局的棋子数列的逆序数为奇数，则永远也不可能达到目标状态，即八数码问题无解；若其棋局的棋子数列的逆序数为偶数。