高斯消元+枚举自由变量

/*
高斯消元+枚举自由变量 
*/ 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T , N ,M ;
int num[110] ;
int a[110][110] ;
int row , col ;
int ans[110] ;
int temp[110] ;
int res ;


void dfs(int u){
	if(u == N){
		for(int i=0;i<N;i++){
			temp[i] = ans[i] ;
		}
		int sum = 0;
		for(int i=row-1;i>=0;i--){
			int rr = a[i][N] ;
			for(int j=i+1;j<N;j++){
				rr = (rr ^ (a[i][j] && temp[j])) ;
			}	
			temp[i] = rr ;
		}
		for(int i=0;i<N;i++)
			sum += temp[i] ;
		if(sum < res)	res = sum ;
		return ;
	}
	ans[u] = 0 ;
	dfs(u+1) ;
	ans[u] = 1 ;
	dfs(u+1) ;
}


int gauss(){
	int i, j;
	row = col = 0 ;
	for( ;row<N && col<N;row++,col++){
		int max_r = row ;
		for(i=row+1;i<N;i++){
			if(a[max_r][col] < a[i][col])	max_r = i ;
		}
		if(max_r != row){
			for(j=col ;j<=N;j++){
				swap(a[row][j]  ,a[max_r][j]);
			}
		}
		if(a[row][col] == 0	){
			row-- ; continue ;
		}
		for(i=row+1;i<N;i++){
			if(a[i][col] == 0)	continue ;	
			
			for(j=col ;j<=N;j++){
				a[i][j] = (a[i][j] ^ a[row][j]) ;
			}
		}
	}	
	for(i=row;i<N;i++){
		if(a[i][N] != 0)	return -1 ;
	}
	res = 1000000 ;
	memset(ans ,0 ,sizeof(ans)) ;
	for(i=0;i<N;i++){		//将每一行的主元素化成非零 
		if(a[i][i])	continue ;	
		for(j=i+1;j<N;j++){
			if(a[i][j])	break ;
		}
		if(j == N)	break ;
		for(int k=0;k<N;k++){
			swap(a[k][i],a[k][j]) ;
		}
	}
	dfs(row) ;
	return res ;
}
int main()
{
	BALABALA......
	return 0;
}

首先在最后的解中,显然每个开关只能按一次。所以貌似可以状压DP?,但是由于开关可以控制后面的灯泡,所以100*2^30果断GG...
    于是发现这个可以列出方程组,Xi表示开关i是否按下,Mij表示开关i是否可以控制灯泡j:
        (M00*X0) XOR (M10*X1) XOR ... XOR (M0n-1*Xn-1) = A0
        (M10*X0) XOR (M11*X1) XOR ... XOR (M1n-1*Xn-1) = A1
        .              .          ...      .           . .
        .              .          ...      .           . .
        .              .          ...      .           . .
        (Mj0*X0) XOR (Mj1*X1) XOR ... XOR (Mjn-1*Xn-1) = Aj
    
    这个异或方程组怎么解呢? 其实 A XOR B = (A + B) mod 2
    可以看成是同余方程组,那么经典的解法就是 高斯-约当消元法了...
    其实算的时候还是用XOR操作方便一些...
    这个方程组的解有三种可能:
        1. 无解: 判断消元后的系数矩阵是否存在 0 0 ... 0 1的情况,如果有输出impossible,否则一定有解。
        2. 唯一解: 消去的过程中没有自由变量,即对消去每一列的过程都有主元可以选择,那么直接向前迭代求出唯一解~
        3. 无穷解: 存在自由变量,这个时候需要对自由变量进行枚举,这个复杂度是指数级的,如果自由变量很少的话是ok的。那么如何估算自由变量呢?
                   矩阵的秩决定了自由变量的个数,不难发现这个矩阵是非常有特点的,从左到右画了一个很粗的斜线 :P ,如果n满足(n>2*D+1)的话,这个矩阵很明显是满秩的。
                   否则的话自由变量会在两行完全相同的情况下出现,显然这种情况下前n列都是1,这样的行最多会出现D+1次。枚举次数最多是2^(D+1),这样就可以算了~

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