第一次碰到最大流的问题。虽然我知道最大流的算法,但是砬到这题是根本没想到用最大流来求解。解法参考了http://www.cppblog.com/NARUTOACM/archive/2010/03/01/108680.html。
解决此题的关键在于流图的建立:
1,源点Source为0,sink结点为T
2,1 - m为要求m个不同的设备
3,m +1, m + n为室内已有的 n 个插头receptacles
4,m + n + 1 到 T为通过适配器轮换可能出现的插头,很明显这些插头不能与汇点直接相连,它们必须转换成室内已有的插头
具体如下图所示。
最大流最小割问题
#include <iostream> #include <cstdio> #include <string> #include <map> #include <queue> using namespace std; #define MAX 520 #define INF 0xFFFF string receptacles[MAX]; int table[MAX][MAX]; map<string,int> map_receptacles; string s,s1; int source = 0, sink; int flow = 0; int prev[MAX]; void p(int top) { cout<<endl; for (int i = 0; i < top; ++i) { for (int j = 0; j < top; ++j) cout<<table[i][j]<<" "; cout<<endl; } } void add_flow(int cf) { int current,previous; current = sink; while (current != source) { previous = prev[current]; table[current][previous] += cf; table[previous][current] -= cf; current = previous; } flow += cf; } void edmonds_karp() { queue<int> qint; while (1) { while(!qint.empty())qint.pop(); memset(prev,-1,sizeof(prev)); qint.push(source); while(!qint.empty()) { int s = qint.front(); qint.pop(); for(int i = 1; i <= sink; ++i) { if (table[s][i] > 0 && prev[i] == -1) { qint.push(i); prev[i] = s; } } if (prev[sink] != -1)break; } if (prev[sink] != -1)add_flow(1); else break; } } int main() { freopen("in.txt","rt",stdin); int n,m,k; //1 <= n,m,k <= 100 int i,j,h,nval,mval,kval; cin>>n; for (i = 1; i <= n; ++i) { cin>>s; map_receptacles[s] = i; } nval = n; cin>>m; for (i = 1; i <= m; ++i) { cin>>s>>s; if (!(map_receptacles.find(s) != map_receptacles.end())) { map_receptacles[s] = ++nval; } j = map_receptacles[s]; table[i][m+j] = 1; } cin>>k; for (i = 1; i <= k; ++i) { cin>>s>>s1; if (!(map_receptacles.find(s) != map_receptacles.end())) { map_receptacles[s] = ++nval; } if (!(map_receptacles.find(s1) != map_receptacles.end())) { map_receptacles[s1] = ++nval; } j = map_receptacles[s]; h = map_receptacles[s1]; table[m+j][m+h] = INF; } sink = nval + m + 1;//汇点坐标 for (i = 1; i <= m; ++i) table[0][i] = 1; for (i = 1; i <= n; ++i) table[m+i][sink] = 1; edmonds_karp(); cout<<m-flow<<endl; //p(12); }
另一种解法:二分匹配
此方法我没有测试。
我从网络上看到了一个不错的描述,原文链接地址为:http://imlazy.ycool.com/post.1603708.html
下面是其原理描述:
什么是二分图,什么是二分图的最大匹配,这些定义我就不讲了,网上随便都找得到。二分图的最大匹配有两种求法,第一种是最大流(我在此假设读者已有网络流的知识);第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法,但是它跟据二分图匹配这个问题的特点,把最大流算法做了简化,提高了效率。匈牙利算法其实很简单,但是网上搜不到什么说得清楚的文章。所以我决定要写一下。
最大流算法的核心问题就是找增广路径(augment path)。匈牙利算法也不例外,它的基本模式就是:
初始时最大匹配为空 while 找得到增广路径 do 把增广路径加入到最大匹配中去 |
可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性,下面我来分析一下。
(注:匈牙利算法虽然根本上是最大流算法,但是它不需要建网络模型,所以图中不再需要源点和汇点,仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。)
图1图2
图1是我给出的二分图中的一个匹配:[1,5]和[2,6]。图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径:3->6->2->5->1->4。我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质:
(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边,终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边,一个在右半边,交替出现。(其实二分图的性质就决定了这一点,因为二分图同一边的点之间没有边相连,不要忘记哦。)
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点,而其它所有点都是已经配好对的。(如图1、图2所示,[1,5]和[2,6]在图1中是两对已经配好对的点;而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。)
(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中,所有第偶数条边都出现在原匹配中。(如图1、图2所示,原有的匹配是[1,5]和[2,6],这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。)
(7)最后,也是最重要的一条,把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去,并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除(这个操作称为增广路径的取反),则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。(如图2所示,新的匹配就是所有蓝色的边,而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为3。)
不难想通,在最初始时,还没有任何匹配时,图1中的两条灰色的边本身也是增广路径。因此在这张二分图中寻找最大配匹的过程可能如下:
(1)找到增广路径1->5,把它取反,则匹配数增加到1。
(2)找到增广路径2->6,把它取反,则匹配数增加到2。
(3)找到增广路径3->6->2->5->1->4,把它取反,则匹配数增加到3。
(4)再也找不到增广路径,结束。
当然,这只是一种可能的流程。也可能有别的找增广路径的顺序,或者找到不同的增广路径,最终的匹配方案也可能不一样。但是最大匹配数一定都是相同的。
对于增广路径还可以用一个递归的方法来描述。这个描述不一定最准确,但是它揭示了寻找增广路径的一般方法:
“从点A出发的增广路径”一定首先连向一个在原匹配中没有与点A配对的点B。如果点B在原匹配中没有与任何点配对,则它就是这条增广路径的终点;反之,如果点B已与点C配对,那么这条增广路径就是从A到B,再从B到C,再加上“从点C出发的增广路径”。并且,这条从C出发的增广路径中不能与前半部分的增广路径有重复的点。
比如图2中,我们要寻找一条从3出发的增广路径,要做以下3步:
(1)首先从3出发,它能连到的点只有6,而6在图1中已经与2配对,所以目前的增广路径就是3->6->2再加上从2出发的增广路径。
(2)从2出发,它能连到的不与前半部分路径重复的点只有5,而且5确实在原匹配中没有与2配对。所以从2连到5。但5在图1中已经与1配对,所以目前的增广路径为3->6->2->5->1再加上从1出发的增广路径。
(3)从1出发,能连到的不与自已配对并且不与前半部分路径重复的点只有4。因为4在图1中没有与任何点配对,所以它就是终点。所以最终的增广路径是3->6->2->5->1->4。
但是严格地说,以上过程中从2出发的增广路径(2->5->1->4)和从1出发的增广路径(1->4)并不是真正的增广路径。因为它们不符合前面讲过的增广路径的第5条性质,它们的起点都是已经配过对的点。我们在这里称它们为“增广路径”只是为了方便说明整个搜寻的过程。而这两条路径本身只能算是两个不为外界所知的子过程的返回结果。
显然,从上面的例子可以看出,搜寻增广路径的方法就是DFS,可以写成一个递归函数。当然,用BFS也完全可以实现。
至此,理论基础部份讲完了。但是要完成匈牙利算法,还需要一个重要的定理:
如果从一个点A出发,没有找到增广路径,那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配,从A出发都永远找不到增广路径。
要用文字来证明这个定理很繁,话很难说,要么我还得多画一张图,我在此就省了。其实你自己画几个图,试图举两个反例,这个定理不难想通的。(给个提示。如果你试图举个反例来说明在找到了别的增广路径并改变了现有的匹配后,从A出发就能找到增广路径。那么,在这种情况下,肯定在找到别的增广路径之前,就能从A出发找到增广路径。这就与假设矛盾了。)
有了这个定理,匈牙利算法就成形了。如下:
初始时最大匹配为空 for 二分图左半边的每个点i do 从点i出发寻找增广路径。如果找到,则把它取反(即增加了总了匹配数)。 |
实现:注这个实现不是来自上文的作者,是另一位网友写的。当时我从网上cp下来时,没有把网址记录下来,Very Sorry。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <iostream> #include <string> #include <map> #include <cstdio> using namespace std; const int MAXN = 500; #define fill(x, num) memset(x, num, sizeof(x)) map<string, int> mapL; map<string, int> mapR; int link[MAXN][MAXN]; //记录二分图 int rel[MAXN][MAXN]; //插座之间的适配情况 bool visit[MAXN]; int match[MAXN]; void floyd(int n) //传递闭包,确立插座之间的适配情况 { for(int k = 1; k <= n; k ++) for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= n; j ++) if(rel[i][j] && rel[j][k]) rel[i][k] = 1; } void build_binary_graph(int dCnt, int kCnt) //建二分图 { for(int i = 1; i <= dCnt; i ++) { for(int j = 1; j <= kCnt; j ++) { if(link[i][j]) { for(int k = 1; k <= kCnt; k ++) { if(rel[j][k]) link[i][k] = 1; } } } } } bool Hungary(int u, int n) //匈牙利算法寻找增广路径 { for(int v = 1; v <= n; v ++) { if(!visit[v] && link[u][v]) { visit[v] = 1; if(match[v] == -1 || Hungary(match[v], n)) { match[v] = u; return true; } } } return false; } int max_match(int ln, int rn) //二分图最大匹配 { int sum = 0; fill(match, -1); for(int i = 1; i <= ln; i ++) { fill(visit, 0); sum += Hungary(i, rn); } return sum; } int main() { freopen("in.txt", "rt", stdin); int i, n, m, k; string device, receptacle; scanf("%d",&n); int rCnt = 0; //rCnt记录插座个数,作为二分图的左方 for(i = 1; i <= n; i ++) { cin >> receptacle; if(mapR[receptacle] == 0) mapR[receptacle] = ++rCnt; } scanf("%d", &m); int tCnt = rCnt; int dCnt = 0; //dCnt记录设备个数,作为二分图的右方 fill(link, 0); for(i = 1; i <= m; i ++) { cin >> device >> receptacle; if(mapR[receptacle] == 0) mapR[receptacle] = ++ tCnt; if(mapL[device] == 0) mapL[device] = ++ dCnt; link[mapL[device]][mapR[receptacle]] = 1; } fill(rel, 0); int kCnt = tCnt; string recepA, recepB; scanf("%d", &k); for(i = 1; i <= k; i ++) { cin >> recepA>> recepB; if(mapR[recepA] == 0) mapR[recepA] = ++ kCnt; if(mapR[recepB] == 0) mapR[recepB] = ++ kCnt; rel[mapR[recepA]][mapR[recepB]] = 1; } floyd(kCnt); //传递闭包,rel[i][j] = 1表示i插座可以用j插座代替,否则相反 build_binary_graph(dCnt, kCnt); //建二分较link[][] printf("%d\n", dCnt - max_match(dCnt, rCnt)); return(0); }
建图时,初始的link如上图所示。
左1图为利用floyed算法求完闭包后的rel表。
左2图为利用build_binary_graph建立的二分图
左3为利用max_match寻找最大匹配的典型实例。
最后一图为最终寻找到的最大匹配。