NYOJ 题目3 多边形重心

多边形重心问题

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难度：5

描述

在某个多边形上，取n个点，这n个点顺序给出，按照给出顺序将相邻的点用直线连接， （第一个和最后一个连接），所有线段不和其他线段相交，但是可以重合，可得到一个多边形或一条线段或一个多边形和一个线段的连接后的图形；
如果是一条线段,我们定义面积为0，重心坐标为（0,0）.现在求给出的点集组成的图形的面积和重心横纵坐标的和；

输入

第一行有一个整数0<n<11,表示有n组数据；
每组数据第一行有一个整数m<10000,表示有这个多边形有m个顶点；

输出

输出每个多边形的面积、重心横纵坐标的和，小数点后保留三位；

样例输入

3
3
0 1
0 2
0 3
3
1 1
0 0
0 1
4
1 1
0 0
0 0.5
0 1

样例输出

0.000 0.000
0.500 1.000
0.500 1.000

三角形的重心是：  (x1+x2+x3) / 3，(y1+y2+y3) / 3

三角形的面积为:S =  ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1) ) / 2 ;

另外在求解的过程中，不需要考虑点的输入顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了

 

关于多边形的面积 有一个化简的公式：看这里 计算多边形面积

剖分成N个三角形，分别求出其重心和面积，这时可以想象，原来质量均匀分布在内部区域上，而现在质量仅仅分布在这N个重心点上（等假变换），这时候就可以利用刚才的质点系重心公式了。

不过，要稍微改一改，改成加权平均数，因为质量不是均匀分布的，每个质点代表其所在三角形，其质量就是该三角形的面积（有向面积！），——这就是权！

 

 

 

计算重心：

1.将各个点存入数组；（数组最后增加一个 点 等于第一个 点，为了首尾相接）

2. 以原点为定点，计算每个三角形的（有向）面积和，总面积就是 对和取绝对值，

3. 计算出每个三角形的（加权）重心， X = S *(x1+x2+0)/3;    Y = S *（y1+y2+0）/3;

4. 然后多边形的重心坐标为  Gx = X总 / S总;  Gy = Y总 / S总;

 

#include <stdio.h>
#include <math.h>
struct point{
	double x,y;
}; point p[10004];

int main()
{
	int n,m,i;
	scanf("%d",&n);
	while(n--){
		scanf("%d",&m);
		for(i=0;i<m;i++)
			scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
		p[m] = p[0]; //注意最后一个点与第一个点的相连 
		double x,y,s,temp;
		x = y = s = 0;
		for(i=0;i<m;i++){
			temp = (p[i].x*p[i+1].y-p[i].y*p[i+1].x)/2;//有向面积
			s += temp;//总有向面积
			x += temp * (p[i].x+p[i+1].x)/3; //加权 
			y += temp * (p[i].y+p[i+1].y)/3;  
		}
		if(fabs(s)<0.0000001) printf("0.000 0.000\n"); //面积为0
		else printf("%.3lf %.3lf\n",fabs(s),(x+y)/s); 
	}
	return 0; 
}